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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:33 Mo 26.07.2004 | | Autor: | Melanie |
Hallo,
ich habe hier ein paar Funktionen abzuleiten (Ergebnis liegt vor) bei denen ich einfach keine Ahnung habe, wie ich vorgehen soll, die Ableitungsregeln (Ketten, Quotienten...) kenne ich und kann sie (normalerweise) anwenden.
Nur hier klappt es irgendwie überhaupt nicht:
1) [mm] \left( \bruch{8}{x} \right)^{2-\bruch{x^2}{2}} [/mm]
hier bin ich folgendermaßen vorgegangen: auf [mm] \left( \bruch{8}{x} \right) [/mm] wende ich die Quotientenregel an, wobei die Ableitung [mm] \left( \bruch{-8}{x^2} \right) [/mm] (das ist dann g'(x)) ist. Auf die gesamte Funktion wende ich die Kettenregel an, wobei f(x) = [mm] x^{2-\bruch{x^2}{2}} [/mm] ist, und f'(x) ist dann [mm] -1x [/mm]
An dieser Stelle muss schon einiges erheblich falsch gelaufen sein, denn das Ergebnis, also die Ableitung soll
[mm] \left( \bruch{-8}{x^2} \right -8)^{2-\bruch{x^2}{2}} [/mm]
sein...
Ich bin vollkommen verzweifelt und hab wahrscheinlich auch schon viel zu lange darüber gehockt, um den Fehler überhaupt zu sehen :((
Ich bitte also um eure Hilfe, vielen Dank schonmal
Melanie
(Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:10 Mo 26.07.2004 | | Autor: | taenzer |
Ich komme auch auf ein anderes Ergebnis. Aber ich würde die Funktion zunächst umformen:
[mm]f(x)=\left( \bruch{8}{x} \right)^{2-\bruch{x^2}{2}}=y(x)^{z(x)}[/mm]
Also [mm] $y(x)=\frac{8}{x}$ [/mm] und [mm] $z(x)=2-\frac{x^2}{2}$ [/mm] substituiert.
Jetzt mache ich [mm] $e^{\ln(f(x))}$. [/mm] Das ergibt nach einem altbekannten Logarithmusgesetz:
[mm]f(x)=e^{z(x)\ln(y(x))}[/mm]
Das lässt sich jetzt leichter ableiten:
[mm]f'(x)=e^{z(x)\ln(y(x))}(z'(x)\ln(y(x))+z(x)\frac{1}{y(x)}y'(x))=\left( \bruch{8}{x} \right)^{2-\bruch{x^2}{2}}(z'(x)\ln(y(x))+z(x)\frac{1}{y(x)}y'(x))[/mm]
Jetzt brauchst Du nur noch [mm]y'(x)=-\frac{8}{x^2}[/mm] und [mm]z'(x)=-x[/mm] einzusetzen. Aber die Lösung, die Du da hast, sehe ich nicht. Da ist ja immer der Logarithmus drin.
Vielleicht hat ja jemand eine bessere Idee...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:11 Do 29.07.2004 | | Autor: | Emily |
> Hallo,
> ich habe hier ein paar Funktionen abzuleiten (Ergebnis
> liegt vor) bei denen ich einfach keine Ahnung habe, wie ich
> vorgehen soll, die Ableitungsregeln (Ketten, Quotienten...)
> kenne ich und kann sie (normalerweise) anwenden.
>
> Nur hier klappt es irgendwie überhaupt nicht:
>
> 1) [mm]\left( \bruch{8}{x} \right)^{2-\bruch{x^2}{2}}[/mm]
>
>
> hier bin ich folgendermaßen vorgegangen: auf [mm]\left( \bruch{8}{x} \right)[/mm]
> wende ich die Quotientenregel an, wobei die Ableitung
> [mm]\left( \bruch{-8}{x^2} \right)[/mm] (das ist dann g'(x)) ist.
> Auf die gesamte Funktion wende ich die Kettenregel an,
> wobei f(x) = [mm]x^{2-\bruch{x^2}{2}}[/mm] ist, und f'(x) ist dann
> [mm]-1x[/mm]
>
> An dieser Stelle muss schon einiges erheblich falsch
> gelaufen sein, denn das Ergebnis, also die Ableitung soll
>
> [mm]\left( \bruch{-8}{x^2} \right -8)^{2-\bruch{x^2}{2}}[/mm]
>
>
> sein...
>
> Ich bin vollkommen verzweifelt und hab wahrscheinlich auch
> schon viel zu lange darüber gehockt, um den Fehler
> überhaupt zu sehen :((
>
Hallo Melanie!
sei [mm]f(x)=\left( \bruch{8}{x} \right)^{2-\bruch{x^2}{2}}[/mm]
[mm]f(x)={e^{ln\left( \bruch{8}{x} \right)}}^{2-\bruch{x^2}{2}}[/mm]
[mm]f(x)={e^{{{(2-\bruch{x^2}{2})}}*{ln\left( \bruch{8}{x} \right)}}}[/mm]
Bis später
Gruß Emily
> Ich bitte also um eure Hilfe, vielen Dank schonmal
>
> Melanie
> (Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:05 Fr 30.07.2004 | | Autor: | Emily |
> Hallo Melanie!
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> sei [mm]f(x)=\left( \bruch{8}{x} \right)^{2-\bruch{x^2}{2}}[/mm]
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> [mm]f(x)={e^{ln\left( \bruch{8}{x} \right)}}^{2-\bruch{x^2}{2}}[/mm]
>
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> [mm]f(x)={e^{{{(2-\bruch{x^2}{2})}}*{ln\left( \bruch{8}{x} \right)}}}[/mm]
>
>
>
> Bis später
>
> Gruß Emily
Hallo Melani,
leider wars nicht eher möglich
[mm]f'(x)={e^{{{(2-\bruch{x^2}{2})}}*{ln\left( \bruch{8}{x} \right)}}}*(-x*ln{8 \br x}+((2-{x^2 \br 2})*({-1 \br x}))[/mm]
[mm]f'(x)={e^{{{(2-\bruch{x^2}{2})}}*{ln\left( \bruch{8}{x} \right)}}}*(-x*ln{8 \br x}-{2 \br x }+{x \br 2})[/mm]
[mm]f'(x)=\left( \bruch{8}{x} \right)^{2-\bruch{x^2}{2}}*(-x*ln{8 \br x}-{2 \br x }+{x \br 2})[/mm]
Liebe Grüße
Emily
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:13 Do 29.07.2004 | | Autor: | Christian |
Hallo erstmal.
Ich muß meinem Vorgänger recht geben. Ich denke die Lösung, die da rauskommen soll kann nicht richtig sein.
Ich hab die Funktion auch erstmal umgeformt und bin dann auf eine Funktion gestoßen, auf die sich die Regeln eindeutig anwendenlassen. (Auf Funktionen wie [mm]f(x)=x^x[/mm] und so Geschichten läßt sich die Kettenregel ja nicht eindeutig anwenden...
Also, zu meinem Ergebnis:
[mm]f(x)=(\bruch{8} {x})^{2-\bruch{x^2} {2}}= \bruch{64} {x^2} *(\bruch{x} {8})^{\bruch{x^2} {2}}=\bruch{64} {x^2}*e^{\bruch{x^2} {2}*ln{\bruch{x} {8}}}[/mm]
[mm]f'(x)=-\bruch{128} {x^3}*e^{\bruch{x^2} {2}*ln{\bruch{x} {8}}}+\bruch{64} {x^2}*e^{\bruch{x^2} {2}*ln{\bruch{x} {8}}}*(x*ln{\bruch{x} {8}}+\bruch{1} {x}})
=-\bruch{128} {x^3}*(\bruch{x} {8})^{\bruch{x^2} {2}}+\bruch{64} {x^2}*(\bruch{x} {8})^{\bruch{x^2} {2}}*(x*ln{\bruch{x} {8}}+\bruch{x^2} {2}*\bruch{1} {x}})
=(\bruch{8} {x})^{2-\bruch{x^2} {2}}*(x*ln{\bruch{x} {8}}+\bruch{x} {2}-\bruch{2} {x})
=(\bruch{8} {x})^{2-\bruch{x^2} {2}}*(x*ln{\bruch{x} {8}}+\bruch{x^2-4} {2x})[/mm]
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