Schwerpunkt eines Zylinders < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:15 Sa 26.03.2011 | | Autor: | rumsbums |
| Aufgabe | Also folgendes:
Zylinder mit der Höhe 1 von dem die Grundfläche durch den Einheitskreis in der x-y-Ebene begrenzt wird. Für seine Punkte gilt:
x >=0 und
y >=0
Berechnen sie den Schwerpunkt! |
mmh nun hab ich überlegt und bin auf folgende definition getoßen:
[mm] xs=\bruch{1}{V}*\integral_{b}^{x=a} \integral_{f0(x)}^{y=fu(x)} \integral_{z0(x;y)}^{zu(x;y)}{x dz dy dx}
[/mm]
[mm] ys=\bruch{1}{V}*\integral_{b}^{x=a} \integral_{f0(x)}^{y=fu(x)} \integral_{z0(x;y)}^{zu(x;y)}{y dz dy dx}
[/mm]
[mm] zs=\bruch{1}{V}*\integral_{b}^{x=a} \integral_{f0(x)}^{y=fu(x)} \integral_{z0(x;y)}^{zu(x;y)}{z dz dy dz}
[/mm]
aber wie wende ich die an!
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Hallo rumsbums,
> Also folgendes:
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> Zylinder mit der Höhe 1 von dem die Grundfläche durch den
> Einheitskreis in der x-y-Ebene begrenzt wird. Für seine
> Punkte gilt:
>
> x >=0 und
> y >=0
>
> Berechnen sie den Schwerpunkt!
> mmh nun hab ich überlegt und bin auf folgende definition
> getoßen:
>
>
> [mm]xs=\bruch{1}{V}*\integral_{b}^{x=a} \integral_{f0(x)}^{y=fu(x)} \integral_{z0(x;y)}^{zu(x;y)}{x dz dy dx}[/mm]
>
> [mm]ys=\bruch{1}{V}*\integral_{b}^{x=a} \integral_{f0(x)}^{y=fu(x)} \integral_{z0(x;y)}^{zu(x;y)}{y dz dy dx}[/mm]
>
> [mm]zs=\bruch{1}{V}*\integral_{b}^{x=a} \integral_{f0(x)}^{y=fu(x)} \integral_{z0(x;y)}^{zu(x;y)}{z dz dy dz}[/mm]
>
> aber wie wende ich die an!
Hier musst Du zunächst geeigenete Funktionen finden.
Da der Einheitskreis in der x-y-Ebene liegt
ergibt sich die Gleichung
[mm]x^{2}+y^{2}=1[/mm]
Hieraus ereben sich [mm]f0\left(x\right)[/mm] und [mm]fu\left(x\right)[/mm]
Diese Funktionen sind natürlich nur definiert,
wenn x in bestimmte Werte annimmt.
Die Höhe z bei einem Zylinder ist hier unabhängig.
Daraus kannst Du Dir jetzt die Integrale zusammenbasteln.
Gruss
MathePower
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> Also folgendes:
>
> Zylinder mit der Höhe 1 von dem die Grundfläche durch den
> Einheitskreis in der x-y-Ebene begrenzt wird. Für seine
> Punkte gilt:
>
> x >=0 und
> y >=0
Verstehe ich das richtig, dass die Grundfläche des Zylinders
ein Viertelkreis sein soll ?
> Berechnen sie den Schwerpunkt!
> mmh nun hab ich überlegt und bin auf folgende definition
> getoßen:
>
>
> [mm]xs=\bruch{1}{V}*\integral_{b}^{x=a} \integral_{f0(x)}^{y=fu(x)} \integral_{z0(x;y)}^{zu(x;y)}{x dz dy dx}[/mm]
>
> [mm]ys=\bruch{1}{V}*\integral_{b}^{x=a} \integral_{f0(x)}^{y=fu(x)} \integral_{z0(x;y)}^{zu(x;y)}{y dz dy dx}[/mm]
>
> [mm]zs=\bruch{1}{V}*\integral_{b}^{x=a} \integral_{f0(x)}^{y=fu(x)} \integral_{z0(x;y)}^{zu(x;y)}{z dz dy[/mm] dz dx
Es scheint, dass du konsequent die Untergrenzen oben
und die Obergrenzen unten notierst.
(jedem Tierchen sein Pläsierchen ...  )
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:27 Sa 26.03.2011 | | Autor: | rumsbums |
Sieht dann mein Integral so aus für
z.B.
[mm] xs=\bruch{1}{V}*\integral_{0}^{1}\integral_{0}^{\wurzel{1-y^2}}\integral_{0}^{\wurzel{1-x^2}}{x dz dy dx}
[/mm]
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Hallo rumsbums,
> Sieht dann mein Integral so aus für
>
> z.B.
>
> [mm]xs=\bruch{1}{V}*\integral_{0}^{1}\integral_{0}^{\wurzel{1-y^2}}\integral_{0}^{\wurzel{1-x^2}}{x dz dy dx}[/mm]
>
>
Die Grenzen des innersten Integrals
sind unabhängig von x und y.
Die Grenzen der beiden anderen Integrale stimmen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:38 Sa 26.03.2011 | | Autor: | rumsbums |
Dann vielleicht so:
[mm] xs=\bruch{1}{V}\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}\integral_{0}^{\wurzel{1-x^2}}\integral_{0}^{\wurzel{1-y^2}}{f(x) dx}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:53 Sa 26.03.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. Zylinder spricht für zylinderkoordinaten!
2. wie du dxdydz anordnest ist mir unklar.
legen wir fest: 1. Integration über x von 0 bis [mm] \wurzel{1-y^2} [/mm] dann kann doch y nur von 0 bis 1 laufen ?
was soll das f(x) in deinem Integral? und im letzten post nur noch dx?
am besten zeichne den viertelkreis mal auf, und überleg dir, was du mit der Integration (ersetz sie in Gedanken durch ne Summe über kleine quadrätchen oder Streifen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:11 Sa 26.03.2011 | | Autor: | rumsbums |
Also okay wenn ich mir die grenzen mal so überlege:
in x-Richtung gilt ja:
0<=x<=1
in y-Richtung gilt dann:
[mm] 0<=y<=\wurzel{1-x^2} [/mm]
und für z würd ich sagen:
[mm] 0<=z<=\wurzel{y²-x²} [/mm]
also sieht das integral dann so aus:
[mm] xs=\bruch{1}{V}\integral_{x=0}^{1}\integral_{y=0}^{\wurzel{1-x^2}
}\integral_{z=0}^{\wurzel{y^2-x^2} }{x dz dy dx}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:49 Sa 26.03.2011 | | Autor: | rumsbums |
dann sehen meine Integrale zur zum Schwerpunkt so aus:
[mm] xs=\bruch{1}{V}\integral_{0}^{1}\integral_{0}^{\wurzel{1-y^2}}{\integral_{0}^{1}{x} dz dy dx}
[/mm]
[mm] ys=\bruch{1}{V}\integral_{0}^{1}\integral_{0}^{\wurzel{1-y^2}}{\integral_{0}^{1}{y} dz dy dx}
[/mm]
[mm] zs=\bruch{1}{V}\integral_{0}^{1}\integral_{0}^{\wurzel{1-y^2}}{\integral_{0}^{1}{z} dz dy dx}
[/mm]
Also ich versehe die grenzen x und z, die obere grenze von [mm] y=\wurzel{1-y^2} [/mm] ist mir nicht klar warum ist das so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:34 So 27.03.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast doch selbst geschrieben :
in y-Richtung gilt dann:
$ [mm] 0<=y<=\wurzel{1-x^2} [/mm] $
wieso jetzt auf einmal [mm] \wurzel{1-y^2}??
[/mm]
du kannst doch in y richtung nicht bis zu ner fkt von y integrieren?
gruss leduart
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> 1. Zylinder spricht für zylinderkoordinaten!
Hallo leduart,
im vorliegenden Beispiel gar nicht wirklich empfehlenswert !
LG Al-Chw.
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sorry, geht auch mit Zylinderkoordinaten doch
einfacher als ich dachte ...
> LG Al-Chw.
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