Schwerpunkt einer Pyramide < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:37 Fr 01.08.2014 | | Autor: | stylez |
| Aufgabe | Berechnen Sie den Schwerpunkt von:
einer Pyramide im [mm] R^3 [/mm] mit quadratischer Grundfläche der Kantenlänge a und der Höhe h |
Hallo zusammen,
ich soll den Schwerpunkt einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche bestimmen. Leider weiß ich gar nicht wie ich anfangen soll.
Ich wollte zuerst mal das Volumen der Pyramide durch integration bestimmen, doch ich scheitere schon daran.
Ich habe mir überlegt die Z-Achse durch die Spitze der Pyramide laufen zu lassen, wodurch folgt das die x- und die y-Koordinate des Schwerpunkts gleich 0 ist.
Doch wie mach ich nun weiter?
PS.: ich muss die Aufgabe durch Integration lösen.
Ich hoffe jemand kann mir helfen.
Danke!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:09 Fr 01.08.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Berechnen Sie den Schwerpunkt von:
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> einer Pyramide im [mm]R^3[/mm] mit quadratischer Grundfläche der
> Kantenlänge a und der Höhe h
> Hallo zusammen,
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> ich soll den Schwerpunkt einer Pyramide mit quadratischer
> Grundfläche bestimmen. Leider weiß ich gar nicht wie ich
> anfangen soll.
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> Ich wollte zuerst mal das Volumen der Pyramide durch
> integration bestimmen, doch ich scheitere schon daran.
> Ich habe mir überlegt die Z-Achse durch die Spitze der
> Pyramide laufen zu lassen, wodurch folgt das die x- und die
> y-Koordinate des Schwerpunkts gleich 0 ist.
>
> Doch wie mach ich nun weiter?
Nun, nehmen wir ferner an, dass das Basisquadrat die Seitenlänge a habe und in der Grundrissebene (=1. Bildebene, ="xy-Ebene") liegt und die Pyramide die Höhe h habe, die Spitze S also die Koordinaten (0/0/h) hat.
Wenn du das Volumen der Pyramide mittels Integration über z bestimmen möchtest (eine Formel für das Pyramidenvolumen wirst du ja parat haben), dann musst du dir überlegen, welchen Flächeninhalt der Pyramidenquerschnitt in einer beliebige Höhe z [mm] ($0\le{z}\le{h}$) [/mm] hat.
Außerdem kennst du sicher eine Formel, wie du mithilfe der Integralrechnung und der Kenntnis des Körpervolumens die Schwerpunktskoordinaten ermitteln kannst.
Gruß RMix
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Ich greife den Ansatz von rmix22 auf, glaube aber, daß es für die Rechnung eine Spur günstiger ist, wenn man die Pyramide "auf den Kopf stellt", also die Spitze der Pyramide in den Ursprung legt und ihr Grundquadrat parallel zur [mm]xy[/mm]-Ebene, so daß seine Ecken die Koordinaten [mm]\left(\pm \frac{a}{2},\pm \frac{a}{2},h \right)[/mm] besitzen. In der Aufgabe steht zwar nichts davon, daß es sich um eine gerade Pyramide handeln soll. Aber ich denke, daß es so gemeint ist.
Es ist klar, daß nun [mm]z \in [0,h][/mm] gilt. Denkt man sich so ein [mm]z[/mm] fest gewählt und macht man in dieser Höhe einen Schnitt durch die Pyramide parallel zur [mm]xy[/mm]-Ebene, so ist die Schnittfläche ein Quadrat (unbedingt eine Zeichnung erstellen). [mm]b(z)[/mm] sei dessen Kantenlänge. Speziell gilt [mm]b(0) = 0[/mm] und [mm]b(h) = a[/mm]. Der Integrationsbereich ist somit die Menge [mm]P[/mm], beschrieben durch
[mm]P: \ \ 0 \leq z \leq h \, , \ \ - \frac{b(z)}{2} \leq x \leq \frac{b(z)}{2} \, , \ \ - \frac{b(z)}{2} \leq y \leq \frac{b(z)}{2}[/mm]
Und die Struktur der Ungleichungen legt nahe, in welcher Reihenfolge später Fubini anzuwenden ist.
Jetzt ist nur noch die Formel für [mm]b(z)[/mm] mit [mm]a,h[/mm] als Parametern zu bestimmen. Es ergibt sich durch eine elementare geometrische Überlegung (Mittelstufe Gymnasium) ein recht einfacher Term.
Das Volumen [mm]V[/mm] der Pyramide berechnet man dann durch
[mm]V = \int_P \mathrm{d}(x,y,z)[/mm]
Es sollte sich die bekannte Formel [mm]V = \frac{1}{3} a^2 h[/mm] ergeben.
Und die [mm]z[/mm]-Koordinate des Schwerpunkts schließlich ist
[mm]z_S = \frac{1}{V} \cdot \int_P z ~ \mathrm{d}(x,y,z)[/mm]
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