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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:36 Do 06.12.2012 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | Man berechne den Schwerpunkt S des Dreiecks mit den Eckpunkten (0,0), (3,0), (0,1) nach der Formel
S:= 1/m [mm] \int_M [/mm] x [mm] \nu [/mm] (x) dS (x),
m = [mm] \int_M \nu [/mm] (x) dS (x)
für Mannigfaltigkeiten M mit Massen dichte [mm] \nu(x) \ge [/mm] 0. DIe Massendichte auf dem Dreieck sei konstant. |
Hallo,
Ich finde bei dem Bsp feuert man mit Kanonen auf Spatzen. Ich hab mir den Schwerpunkt mit schulischen Mitteln ausgerechnet S= [mm] \vektor{1 \\ 1/3}.
[/mm]
Aber zurück zum Bsp.:
Wir haben defeniert:
Sei T [mm] \subseteq \IR^k [/mm] kompakt, M = [mm] \phi(T) \subseteq \IR^n [/mm] Mannigfaltigekti, f: M-> [mm] \IR [/mm] stetig
[mm] \int_M [/mm] f(x) dS(x) := [mm] \int_T f(\phi(t)) \sqrt{det[D\phi(t))^{tr} D \phi(t)]} [/mm] dt
Wobei ja [mm] \sqrt{det[D\phi(t))^{tr} D \phi(t)]} [/mm] die Norm des Normalvektors auf M in [mm] \phi(t) [/mm] ist bzw. die determinnate der grammschen Matrix
Ist hier die mannigfaltigkeit die ganze [mm] \IR^2 [/mm] Ebene??? Und der Parameterbereich die x-achse? Ich verstehe es nicht ganz umzusetzen..
Frage auch im Matheplanet gestelllt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:25 Fr 07.12.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du sollst an dem einfachen Beispiel üben den Schwerpunkt nach dieser def. zu berechnen, dein einfaches geometrisches Vorgehen, geht ja nicht mehr, wenn M komplizierter als ein dreieck ist. wie berechnest du geom. den SP eines Halbkreises.
gut ist ,dass du hier dein ergebnis überprüfen kannst und damit auch einsehen, dass die def sinnvoll ist. M ist die Menge der Punkte des Dreiecks. in der x-y Ebene.
x ist hier wohl nicht die x- achse sondern der 2d ortsvektor.
gruss leduart
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