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| Aufgabe | | Gegeben sei ein spitzer Kreiskegel mit der Höhe h und dem radius r. In welcher Höhe liegt der Schwerpunkt. |
Hallo:)
Hab das ganze mit folgender formel gemacht:
[mm] x_s=\bruch{\integral_{a}^{b}x*f(x)^2 \, dx }{\integral_{a}^{b} f(x)^2\, dx }
[/mm]
Bei einem Kreiskegel als Rotationskörper habe ich ja als Ausgang eine Gerade mit folgender Gleichung:
[mm] f(x)=-\bruch{r}{h}+r
[/mm]
und [mm] f(x)^2=r^2+2\bruch{r^2}{h}x+\bruch{r^2}{h^2}x^2
[/mm]
mit den Grenzen a=0 und b=h
somit also:
[mm] x_s=\bruch{\integral_{0}^{h}x*(-\bruch{r}{h}+r)^2 \, dx }{\integral_{0}^{h} (-\bruch{r}{h}+r)^2\, dx }
[/mm]
Womit ich nach ausklammern zu folgendem komme:
[mm] x_s=\bruch{\integral_{0}^{h}r^2x+2\bruch{r^2}{h}x^2+\bruch{r^2}{h^2}x^3 \, dx }{\integral_{0}^{h}r^2+2\bruch{r^2}{h}x+\bruch{r^2}
{h^2}x^2 \, dx }
[/mm]
Mit den Stammfunktionen
Obere Funktion: [mm] F(x)=\bruch{r^2}{2}x^2+\bruch{2r^2}{3h}x^3+\bruch{r^2}{4h^2}x^4
[/mm]
und:
untere Funktion:
[mm] G(x)=r^2x+\bruch{2r^2}{2h}x^2+\bruch{r^2}{3h^2}x^3
[/mm]
Mit eingesetzten Grenzen komme ich zu
[mm] \bruch{\bruch{r^2h^2}{2}+\bruch{2r^2h^3}{3h}+\bruch{r^2h^4}{4h^2}}{r^2h+\bruch{r^2h^2}{h}+\bruch{r^2h^3}{3h^2}}
[/mm]
Nach ein wenig Kürzen:
[mm] \bruch{\bruch{r^2h^2}{2}+\bruch{2r^2h^2}{3}+\bruch{r^2h^2}{4}}{r^2h+r^2h+\bruch{r^2h}{3}}
[/mm]
Was mich zu folgendem führt:
[mm] \bruch{\bruch{17r^2h^2}{12}}{\bruch{7r^2h}{3}}
[/mm]
Und dann zu [mm] \bruch{51}{84}h
[/mm]
Und da passt irgendwas nicht kann es leider nur nicht finden:)
Freue mich auf Antworten
mfg mathefreak
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Ich verstehe nicht so ganz wie mir das helfen soll??
Ist mein Ansatz komplett falsch?
Das is doch die Formel für den Schwerpunkt dannmüsste ich doch da auch zum ergebnis kommen=?
mfg
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Hallo,
irgendwie hast du da rumgehampelt beim Integrieren.
Es ist doch [mm]\int\limits_{0}^h{\left(-r/h+r\right)^2\cdot{}x \ dx}=\left(-r/h+r\right)^2\int\limits_{0}^h{x \ dx}=\frac{1}{2}\left(-r/h+r\right)^2\cdot{}\left[x^2\right]_0^h=\frac{1}{2}\left(-r/h+r\right)^2\cdot{}h^2[/mm]
Und entsprechend [mm]\int\limits_{0}^h{\left(-r/h+r\right)^2 \ dx}=\left(-r/h+r\right)^2\int\limits_0^h{1 \ dx}=\left(-r/h+r\right)^2\cdot{}\left[x\right]_0^h=\left(-r/h+r\right)^2\cdot{}h[/mm]
Also ergibt der Quotient [mm]\frac{h}{2}[/mm]
Rauskommen soll wohl [mm]h/4[/mm], also stimmt was mit der Formel oder den Grenzen im Integral nicht ...
Gruß
schachuzipus
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Ich habe bei [mm] f(x)=-\bruch{r}{h}x+r
[/mm]
wohl das x vergessen in der echnung ist es aber dabei. von daher kann ich den ganzen quotienten nicht mehr vor das integral ziehen ;)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:28 Fr 10.06.2011 | | Autor: | chrisno |
In deinen Umformungen vermisse ich Minuszeichen [mm] $(-a+b)^2 [/mm] = [mm] a^2 [/mm] -2ab + [mm] b^2$.
[/mm]
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jap jetz passt alles war dummer gedankenfehler xD
danke dir
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http://classic.unister.de/Unister/ausgabe_stichwort27204_0.html
