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Forum "Uni-Sonstiges" - Schwache lokale Minimalstelle
Schwache lokale Minimalstelle < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Schwache lokale Minimalstelle: Idee
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 16:22 Sa 27.10.2018
Autor: mathstu

Aufgabe
Sei u [mm] \in [/mm] C [mm] \subset [/mm] U [mm] \subset [/mm] X.
Zeige, dass u(x)=0 eine schwache lokale Minimalstelle von [mm] F(u)=\integral_{0}^{1}{u'(t)^2-u'(t)^4 dt} [/mm] in [mm] C=\{u\in X|u(0)=u(1)=0\} [/mm] ist, mit [mm] X=C^1([0,1]). [/mm]
Zeige außerdem, dass u(x)=0 keine starke lokale Minimalstelle ist.
Hinweis: Betrachte
[mm] u_{p,q}=\begin{cases} \bruch{q}{p} t, & \mbox{für } 0\le t\le p \\ \bruch{q}{p-1} (t-1), & \mbox{für } p und berechne [mm] F(u_{p,q}) [/mm] mit p [mm] \to [/mm] 1. Die Funktionen [mm] u_{p,q} [/mm] lassen sich durch [mm] C^1 [/mm] Funktionen in [mm] L^\infty [/mm] approximieren.

Hallo Vorhilfe-User!

Ich soll obige Aufgabe lösen. Ich schreibe einmal unsere Definition von schwacher und starker lokaler Minimalstelle an:
u ist eine schwache lokale Minimalstelle von F in C, falls es ein [mm] \delta>0 [/mm] gibt, sodass [mm] F(u) \le F(v) \forall v \in C\cap B_\delta (u,X)[/mm]. Also wir betrachten die Differenz von u und v bezüglich der [mm] C^1-Norm. [/mm]
u ist eine starke lokale Minimalstelle von F in C, falls es ein [mm] \delta>0 [/mm] gibt, sodass [mm]F(u) \le F(v) \forall v \in C\cap B_\delta (u,C([0,1],\IR^N))[/mm].

Ich habe schon ein Problem den Hinweis zu verstehen. Ist der Hinweis so gedacht, dass ich die Funktion [mm] u_{p,q} [/mm] als v einsetzen und dann die Differenz zu u in der [mm] C^1-Norm [/mm] betrachten soll oder wie ist das gemeint?

Ich habe [mm] F(u_{p,q}) [/mm] berechnet:
[mm] F(u_{p,q}) = \integral_{0}^{p}{((\bruch{q}{p}t)')^2 - ((\bruch{q}{p}t)')^4 dt} + \integral_{0}^{p}{((\bruch{q}{p-1}(t-1))')^2 - ((\bruch{q}{p-1}(t-1))')^4 dt} = \integral_{0}^{p}{(\bruch{q}{p})^2 - (\bruch{q}{p})^4 dt} + \integral_{p}^{1}{(\bruch{q}{p-1}(t-1))^2 - (\bruch{q}{p-1}(t-1))^4 dt}[/mm]
[mm] \to \integral_{0}^{1}{q^2-q^4 dt} + 0 = q^2-q^4 [/mm]
aber ich sehe auch hier nicht direkt wie mich das weiter bringen könnte.

Ich würde mich freuen, wenn mir jemand bei dieser Aufgabe etwas Starthilfe geben könnte.

LG, mathestudent

        
Bezug
Schwache lokale Minimalstelle: Unklarheiten
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:30 Mi 31.10.2018
Autor: Al-Chwarizmi

Aufgabe

> Sei u $ [mm] \in [/mm] $ C $ [mm] \subset [/mm] $ U $ [mm] \subset [/mm] $ X.

Könntest du erläutern, was damit wirklich gemeint sein soll ?
(ich verstehe nur Bahnhof)


> Zeige, dass u(x)=0 eine schwache lokale Minimalstelle ..... ist.

Auch dies ist für mich schon wieder ein Rätsel:

Wie soll eine Gleichung auch noch eine Minimalstelle sein ?

LG ,   Al-Chw.

Bezug
                
Bezug
Schwache lokale Minimalstelle: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:19 Mi 31.10.2018
Autor: fred97


> Aufgabe
>  
> > Sei u [mm]\in[/mm] C [mm]\subset[/mm] U [mm]\subset[/mm] X.

>


Hallo Al,


> Könntest du erläutern, was damit wirklich gemeint sein
> soll ?
>  (ich verstehe nur Bahnhof)

Welche Bedeutung X und C haben, erklärt der Fragesteller. Was U bedeutet erzählt er uns nicht. Allerdings kommt U nicht weiter vor....


>  
>
> > Zeige, dass u(x)=0 eine schwache lokale Minimalstelle .....
> ist.
>  
> Auch dies ist für mich schon wieder ein Rätsel:
>  
> Wie soll eine Gleichung auch noch eine Minimalstelle sein
> ?

Die Abbildung F ist auf  $ [mm] C=\{u\in X|u(0)=u(1)=0\} [/mm] $ definiert und geht nach [mm] \IR, [/mm] F bildet also eine Funktion u [mm] \in [/mm] C auf eine reelle Zahl ab.

Zu zeigen ist, dass die Nullfunktion u=0 eine schwache lokale Minimalstelle von F ist, d.h.:

es ex. ein [mm] \delta [/mm] >0 mit

F(0) [mm] \le [/mm] F(v) für alle v [mm] \in [/mm] C mit $||v||< [mm] \delta$. [/mm]

Hierbei ist $||*||$ eine Norm auf $ [mm] X=C^1([0,1]). [/mm] $ Welche Norm gemeint ist, das verschweigt uns der Fragesteller. Aus diesem Grund habe ich mich bis jetzt auch um keine Antwort gekümmert.



>  
> LG ,   Al-Chw.


Bezug
        
Bezug
Schwache lokale Minimalstelle: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:20 Mi 31.10.2018
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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