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Schwache Konvergenz 2: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:57 Do 07.01.2010
Autor: steppenhahn

Aufgabe
Untersuchen Sie, ob für [mm]n\to\infty[/mm] die Wahrscheinlichkeitsmaße [mm]P_{n}[/mm] mit folgenden Wahrscheinlichkeitsdichten [mm]f_{n}[/mm] schwach konvergieren, und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert:

b) [mm] f_{n}(x) [/mm] = [mm] \frac{n+1}{n}*x^{\frac{1}{n}}*1_{[0,1]}(x) [/mm]

c) [mm] f_{n}(x) [/mm] = [mm] \frac{1}{n}*1_{[0,n]}(x) [/mm]

Hallo,

Bei den zwei Aufgaben oben wollte ich nochmal zur Sicherheit nachfragen.

b)

Die Verteilung von [mm] X_{n} [/mm] ist [mm] $F_{n}(x) [/mm] = [mm] x^{1+\frac{1}{n}}*1_{[0,1]}(x)$, [/mm] und die konvergiert punktweise gegen die Verteilung $F(x) = [mm] x*1_{[0,1]}(x)$. [/mm]
Stimmt das?

c)

Die Verteilung von [mm] X_{n} [/mm] lautet [mm] $F_{n}(x) [/mm] = [mm] \frac{1}{n}*x*1_{[0,n]}(x)$. [/mm]
Mhhh. Für endliche n klappt das ja, aber wenn [mm] n\to\infty, [/mm] dann konvergiert [mm] F_{n}(x) [/mm] punktweise gegen die Nullfunktion, d.h. F(x) = 0. Das ist aber keine Verteilungsfunktion mehr.
Das heißt, es gibt kein X sodass [mm] X_{n}\overset{D}{\to}X, [/mm] also konvergiert [mm] X_{n} [/mm] nicht schwach gegen irgendwas?

Danke für Eure Hilfe!

Grüße,
Stefan

        
Bezug
Schwache Konvergenz 2: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:51 Do 07.01.2010
Autor: luis52


>  Hallo,
>  
> Bei den zwei Aufgaben oben wollte ich nochmal zur
> Sicherheit nachfragen.
>  
> b)
>  
> Die Verteilung

Verteilung*sfunktion*

> von [mm]X_{n}[/mm] ist [mm]F_{n}(x) = x^{1+\frac{1}{n}}*1_{[0,1]}(x)[/mm],

[notok] [mm]F_{n}(x) = x^{1+\frac{1}{n}}*1_{[0,1]}(x)+1_{(1,\infty)}(x)[/mm] (Soviel Zeit muss sein!)


> und die konvergiert punktweise gegen die Verteilung [mm]F(x) = x*1_{[0,1]}(x)[/mm].


>  
> Stimmt das?

Mit den ensprechenden Korrekturen, ja.



>  
> c)
>  
> Die Verteilung von [mm]X_{n}[/mm] lautet [mm]F_{n}(x) = \frac{1}{n}*x*1_{[0,n]}(x)[/mm].

s.o.

>  
> Mhhh. Für endliche n klappt das ja, aber wenn [mm]n\to\infty,[/mm]
> dann konvergiert [mm]F_{n}(x)[/mm] punktweise gegen die
> Nullfunktion, d.h. F(x) = 0. Das ist aber keine
> Verteilungsfunktion mehr.
>  Das heißt, es gibt kein X sodass [mm]X_{n}\overset{D}{\to}X,[/mm]
> also konvergiert [mm]X_{n}[/mm] nicht schwach gegen irgendwas?

Na, nicht so ein Gossenjargon! ;-)

vg Luis



Bezug
                
Bezug
Schwache Konvergenz 2: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:18 Fr 08.01.2010
Autor: steppenhahn

Hallo luis,

danke für deine Antwort!
Bezüglich der Verteilungsfunktionen - da hab' ich ja wieder rumgeschludert - irgendwie hatte ich eine völlig falsche Denkweise im Kopf, als ich die aufgestellt habe. Jetzt geht's aber wieder :-)

> > Mhhh. Für endliche n klappt das ja, aber wenn [mm]n\to\infty,[/mm]
> > dann konvergiert [mm]F_{n}(x)[/mm] punktweise gegen die
> > Nullfunktion, d.h. F(x) = 0. Das ist aber keine
> > Verteilungsfunktion mehr.
>  >  Das heißt, es gibt kein X sodass
> [mm]X_{n}\overset{D}{\to}X,[/mm]
> > also konvergiert [mm]X_{n}[/mm] nicht schwach gegen irgendwas?
>  
> Na, nicht so ein Gossenjargon! ;-)

Wie muss es denn dann formuliert werden :-) ?
Ich kann nachweisen, dass [mm] F_{n}(x) [/mm] punktweise gegen F(x) = 0 konvergiert. Das bedeutet, dass [mm] F_{n}(x) [/mm] nicht mehr gegen etwas anderes punktweise konvergieren kann. F(x) ist aber wegen [mm] $\lim_{x\to\infty}F(x) [/mm] = 0$ keine Verteilungsfunktion.

Wie schließe ich denn jetzt den Bogen dazu, dass [mm] X_{n} [/mm] also nicht schwach gegen "irgendwas" konvergieren kann?

Danke für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan

Bezug
                        
Bezug
Schwache Konvergenz 2: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:13 Fr 08.01.2010
Autor: luis52


>  
> Wie schließe ich denn jetzt den Bogen dazu, dass [mm]X_{n}[/mm]
> also nicht schwach gegen "irgendwas" konvergieren kann?

Vielleicht so: [mm] [i]$(X_n)$ [/mm] besitzt keine Grenzverteilung im Sinne der Schwachen Konvergenz.[/i]

vg Luis



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