Schwache Konvergenz < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:35 Do 29.03.2012 | | Autor: | fred97 |
| Aufgabe | Sei [mm] l^{\infty} [/mm] der Vektorraum aller reellen (oder komplexen) beschränkten Folgen. Mit der Norm
[mm] $||(x_n)||:= [/mm] ~sup [mm] ~\{|x_n|: n \in \IN\}$
[/mm]
ist [mm] l^{\infty} [/mm] bekanntlich ein Banachraum.
Für $n [mm] \in \IN$ [/mm] sei [mm] e^{(n)} [/mm] die Folge aus [mm] l^{\infty} [/mm] , die an der n-ten Stelle eine 1 hat und sonst nur Nullen hat.
Man zeige: für jede stetige Linearform f auf [mm] l^{\infty} [/mm] gilt:
[mm] $f(e^{(n)}) \to [/mm] 0$ für $n [mm] \to \infty$.
[/mm]
(Kurz: die Folge der Einheitsvektoren in [mm] l^{\infty} [/mm] konvergiert schwach gegen 0) |
Bemerkung: die stetigen Linearformen auf [mm] l^{\infty} [/mm] sind nicht einfach zu charakterisiern (siehe: http://en.wikipedia.org/wiki/Ba_space). Aber es gibt einen ganz elementaren Beweis für obige Behauptung.
Ich bitte darum, dass jemand aus dem Moderatorenteam, diese Aufgabe in der üblichen Weise kennzeichnet.
Gruß
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:23 Mi 04.04.2012 | | Autor: | fred97 |
Schade, dass sich bis jetzt noch niemand an diese Aufgabe gewagt hat.
Vielleicht ist das eine Motivation: die stetigen Linearformen auf [mm] l^{\infty} [/mm] muss man nicht kennen !
FRED
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Auf jeden Fall ist die Folge [mm] (f(e^{(n)}))_{n \in \IN} [/mm] schonmal beschränkt. Wenn sie jetzt noch monoton wäre... Aber das sieht mir irgendwie nicht so aus :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:47 Mi 04.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> Auf jeden Fall ist die Folge [mm](f(e^{(n)}))_{n \in \IN}[/mm]
> schonmal beschränkt. Wenn sie jetzt noch monoton wäre...
> Aber das sieht mir irgendwie nicht so aus :)
Nein. So gehts nicht . [mm] l^{\infty} [/mm] kann auch komplex sein. Dann ist [mm](f(e^{(n)}))_{n \in \IN}[/mm] eine Folge in [mm] \IC. [/mm] Und da ist nix mit Monotoniekriterium.
Gruß FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:48 Di 10.04.2012 | | Autor: | fred97 |
Hier ist die Lösung ( in der Hoffnung, dass es jemanden interessiert):
Sei f eine stetige Linearform auf [mm] l^{\infty}. [/mm] Wir setzen [mm] a_n:=f( e^{(n)}). [/mm] Dann ist [mm] (a_n) [/mm] beschränkt, denn
[mm] $|a_n| \le ||f||*||e^{(n)}||=||f||$ [/mm] für jedes n.
Sei a ein Häufungswert von [mm] (a_n). [/mm] Dann gibt es eine Teilfolge [mm] (a_{n_k}) [/mm] von [mm] (a_n), [/mm] die gegen a konvergiert.
Setze
[mm] $b_k:= \bruch{a_{n_1}+...+a_{n_k}}{k}$
[/mm]
Nach dem Cauchyschen Grenzwertsatz konvergiert [mm] (b_k) [/mm] ebenfalls gegen a. Nun ist
[mm] $|b_k|= \bruch{1}{k}*|f(e^{(n_1)}+...+e^{(n_k)}| \le \bruch{||f||}{k}*||e^{(n_1)}+...+e^{(n_k)}||=\bruch{||f||}{k}.
[/mm]
Damit ist [mm] (b_k) [/mm] eine Nullfolge und somit ist a=0.
Die Folge [mm] (a_n) [/mm] hat also genau einen Häufungswert, nämlich die 0.
Fazit: [mm] a_n \to [/mm] 0.
FRED
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