Schwache Konvergenz < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:38 Do 18.11.2010 | | Autor: | jboss |
| Aufgabe | | Gegeben sei eine Folge von stetigen Zufallsvariablen [mm] $(X_n)_{n \in \IN}$ [/mm] und [mm] $f_n(x) [/mm] = [mm] \frac{n}{2} I_{\left[-\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right]}$ [/mm] sei für festes $n$ die Dichte von [mm] $X_n$. [/mm] Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion [mm] $F_n$, [/mm] sowie die Verteilungsfunktion $G$ der Verteilung $Q$, gegen die [mm] $(X_n)_{n \in \IN}$ [/mm] schwach konvergiert. Was fällt Ihnen auf? |
Hallo,
insbesondere beim zweiten Teil der Aufgabe bin ich mir nicht ganz sicher. Wäre toll, wenn sich das mal jemand ansehen würde 
Die Verteilungsfunktion von [mm] $X_n$ [/mm] für festes $n$ habe ich wie folgt bestimmt für $x [mm] \in \left(-\frac{1}{n}, \frac{1}{n}\right)$.
[/mm]
$$
[mm] F_n(x) [/mm] = [mm] \integral_{-\infty}^{x} \frac{n}{2} I_{\left[-\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right]} [/mm] (t) dt = [mm] \frac{n}{2} \integral_{-\frac{1}{n}}^{x} [/mm] 1 dt = [mm] \frac{nx}{2} [/mm] + [mm] \frac{1}{2}
[/mm]
$$
Damit ist [mm] $F_n(x) [/mm] = [mm] \begin{cases}
1, & \mbox{für }\frac{1}{n} \leq x \\
\frac{nx}{2} + \frac{1}{2}, & \mbox{für } -\frac{1}{n} < x < \frac{1}{n} \\
0 & \mbox{für } x < -\frac{1}{n}
\end{cases}$
[/mm]
Nun gilt [mm] $\limes_{n \rightarrow \infty} F_n(x) [/mm] = [mm] \begin{cases}
1 & , x \geq 0 \\
0 & , x < 0
\end{cases} [/mm] = [mm] I_{\left\{0\right\}}(x)$
[/mm]
und somit $Q$ eine Einpunktverteilung.
Grüße
jboss
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:50 Do 18.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben sei eine Folge von stetigen Zufallsvariablen
> [mm](X_n)_{n \in \IN}[/mm] und [mm]f_n(x) = \frac{n}{2} I_{\left[-\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right]}[/mm]
> sei für festes [mm]n[/mm] die Dichte von [mm]X_n[/mm]. Bestimmen Sie die
> Verteilungsfunktion [mm]F_n[/mm], sowie die Verteilungsfunktion [mm]G[/mm]
> der Verteilung [mm]Q[/mm], gegen die [mm](X_n)_{n \in \IN}[/mm] schwach
> konvergiert. Was fällt Ihnen auf?
> Hallo,
> insbesondere beim zweiten Teil der Aufgabe bin ich mir
> nicht ganz sicher. Wäre toll, wenn sich das mal jemand
> ansehen würde
> Die Verteilungsfunktion von [mm]X_n[/mm] für festes [mm]n[/mm] habe ich wie
> folgt bestimmt für [mm]x \in \left(-\frac{1}{n}, \frac{1}{n}\right)[/mm].
>
> [mm][/mm]
>
> [mm]F_n(x)[/mm] = [mm]\integral_{-\infty}^{x} \frac{n}{2} I_{\left[-\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right]}[/mm]
> (t) dt = [mm]\frac{n}{2} \integral_{-\frac{1}{n}}^{x}[/mm] 1 dt =
> [mm]\frac{nx}{2}[/mm] + [mm]\frac{1}{2}[/mm]
> [mm][/mm]
>
> Damit ist [mm]$F_n(x)[/mm] = [mm]\begin{cases}
1, & \mbox{für }\frac{1}{n} \leq x \\
\frac{nx}{2} + \frac{1}{2}, & \mbox{für } -\frac{1}{n} < x < \frac{1}{n} \\
0 & \mbox{für } x < -\frac{1}{n}
\end{cases}$[/mm]
>
> Nun gilt [mm]$\limes_{n \rightarrow \infty} F_n(x)[/mm] =
> [mm]\begin{cases}
1 & , x \geq 0 \\
0 & , x < 0
\end{cases}[/mm]
> = [mm]I_{\left\{0\right\}}(x)$[/mm]
Das stimmt nicht. Es ist [mm] F_n(0)=1/2 [/mm] für jedes n [mm] \in \IN
[/mm]
FRED
>
> und somit [mm]Q[/mm] eine Einpunktverteilung.
>
> Grüße
> jboss
>
>
>
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:08 Do 18.11.2010 | | Autor: | jboss |
Hi,
danke für die schnelle Antwort!
> > Nun gilt [mm]$\limes_{n \rightarrow \infty} F_n(x)[/mm] =
> > [mm]\begin{cases}
1 & , x \geq 0 \\
0 & , x < 0
\end{cases}[/mm]
> > = [mm]I_{\left\{0\right\}}(x)$[/mm]
>
> Das stimmt nicht. Es ist [mm]F_n(0)=1/2[/mm] für jedes n [mm]\in \IN[/mm]
>
> FRED
Hmm, jetzt sehe ich es auch. Also für [mm] $\forall [/mm] n$ ist [mm] $F_n(0) [/mm] = 1/2$. Für $x <0$ ist [mm] $F_n(x)$ [/mm] stets 0. Das Intervall [mm] $\left(1/n, 1/n\right)$ [/mm] wird für wachsendes $n$ immer schmaler und damit die Verteilungsfunktion von [mm] $F_n$ [/mm] für $n [mm] \rightarrow \infty$ [/mm] in diesem Intervall immer steiler. Kannst du mir einen Tipp geben?
Grüße
jboss
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Di 23.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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