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Forum "Funktionalanalysis" - Schwache Differenzierbarkeit
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Schwache Differenzierbarkeit: Ansatz
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 15:40 Mo 15.09.2014
Autor: Laura22

Hi! :)

Ich versuche schon seit längerem eine Aufgabe zur schwachen Differenzierbarkeit zu lösen und habe diese Frage auch schon auf in dem Forum http://www.matheplanet.com/ ("Schwache Differenzierbarkeit" von Nigritella) im Forums-Bereich Funktionalanalysis gestellt, doch leider nie eine Antwort bekommen...naja, das kann ja schon mal passieren. Da mich die Aufgabe aber wirklich sehr für mein Verständnis der schwachen Differenzierbarkeit interessiert, stelle ich sie auch hier einmal rein.

Ich fang dann mal mit der Aufgabenstellung an:

Es sei I:=(-1,1) und u \in L^{1}_{loc}(I) \cap ((-1,0) \cup (0,1)) eine auf I schwach differenzierbare Funktion mit schwacher Ableitung v \in L^1_{loc}(I). Zeigen Sie:

(a) Bezeichnet u' die auf I \setminus {0}
    definierte klassische Ableitung von u, so gilt

          \int_J (v(x) - u'(x)) \varphi(x) ~dx = 0

    für alle \phi \in C^{\infty}_0(J) mit J=(-1,0) und J=(0,1).

    Anmerkung: Daraus folgt, dass v=u' (fast überall in
    I), was Sie bei (b) verwenden dürfen.
(b) Angenommen u' ist beschränkt auf
   I \setminus \{0\} und die links- und rechtsseitigen  
   Grenzwerte von u existieren bei x=0, also

   u(0^{-}) := \lim\limits_{x \to 0, x < 0} u(x) \in \mathbb{R}, u(0^{+}) := \lim\limits_{x \to 0, x > 0} u(x) \in \mathbb{R}

   Aus der schwachen Differenzierbarkeit von u auf
   I folgt dann u(0^{-}) = u(0^{+}).

Meine eigenen Ideen:
Zu (a):

v \in L^1_{loc}(I) ist schwache Ableitung von u,

d.h. es gilt für beliebiges \varphi \in C^{\infty}_0((-1,0))

        \int\limits_{-1}^{0} u(x) \varphi'(x) dx = -\int\limits_{-1}^{0} v(x) \varphi(x) ~dx (1)

und für beliebiges \varphi \in C^{\infty}_0((0,1)) gilt ebenso

        \int\limits_{0}^{1} u(x) \varphi'(x) dx = -\int\limits_{0}^{1} v(x) \varphi(x) ~dx (1')

Des Weiteren ist u' eine klassische Ableitung von u auf (-1,0), so dass für beliebiges \varphi \in C^{\infty}_{0}((-1,0)) gilt

\int\limits_{-1}^{0} u(x) \varphi'(x) ~dx \overset{part. Integr.}{=} \int\limits_{-1}^{0} u(x) \varphi'(x) ~dx + \underbrace{(x) \varphi(x)]_{-1}^{0}}_{= 0 \textrm{, da } \varphi \in C^{\infty}_{0}((-1,0))}

= \int\limits_{-1}^{0} u(x) \varphi'(x) ~dx (2)

Analog gilt für beliebiges \varphi \in C^{\infty}_{0}((0,1))

\int\limits_{0}^{1} u(x) \varphi'(x) ~dx \overset{part. Integr.}{=} \int\limits_{0}^{1} u(x) \varphi'(x) ~dx + \underbrace{(x) \varphi(x)]_{0}^{1}}_{= 0 \textrm{, da } \varphi \in C^{\infty}_{0}((0,1))}
= \int\limits_{0}^{1} u(x) \varphi'(x) ~dx (2')

Aus der Differenz der Gleichungen (1) und (2), sowie aus der Differenz der Gleichungen (1') und (2') folgt damit also unmittelbar die Behauptung.

Zu (b): Tja, hier würde ich sehr gerne versuchen eigene Lösungsvorschläge zu liefern, aber ich kriege hier einfach nichts Gescheites auf's Papier, drum wäre es wirklich toll, wenn ihr mir hier etwas unter die Arme greift. Ich bedanke mich schon mal im Voraus!!!

Viele Grüße,
Laura

Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=198426
        
Bezug
Schwache Differenzierbarkeit: Korrektur
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:00 Di 16.09.2014
Autor: Laura22

Hallo nochmal :).

Weiß niemand Rat oder habe ich soviel verbockt, dass man gar nicht weiß, wo man mit dem Rat anfangen sollte? :D

Es wäre mir auch schon sehr geholfen, wenn man vllt. mal auf meine eigene Bearbeitung der Aufgabe eingeht und mir sagt, ob zumindestens die a) richtig oder falsch gelöst wurde.

Viele Grüße,
Laura
Bezug
                
Bezug
Schwache Differenzierbarkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:13 Di 16.09.2014
Autor: hippias

Hallo Laura,
meiner Meinung nach hast Du den ersten Teil bewiesen. Fuer den zweiten Teil lautet meine Vermutung, dass der links- bzw. rechtsseitige Grenzwert $=v(0)$ ist. Versuchen zu zeigen wuerde ich es mit dem Teil a), indem Du eine Folge von Huetchenfunktionen [mm] $(\phi_{n})$ [/mm] konstruierst mit der Eigenschaft [mm] $\phi_{n}(0)=1$, [/mm] f.a. $n$, und [mm] $\lim_{n\to\infty}\phi_{n}(x)= [/mm] 0$, fuer $x>0$. Oder so aehnlich! Jedenfalls so, dass man daraus [mm] $u'(0^{\pm})= [/mm] v(0)$ erhaelt, wenn Du diese Funktionen in die Gleichung von a) einsetzt. Wenn die Behauptung denn ueberhaupt stimmt!
Bezug
        
Bezug
Schwache Differenzierbarkeit: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:20 Mi 17.09.2014
Autor: matux

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