Schw. Gesetz der Großen Zahlen < stoch. Analysis < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:55 Di 17.01.2012 | | Autor: | ella87 |
| Aufgabe | Es seien [mm]X1 ,...,X_n [/mm] Zufallsvariablen mit [mm]E(X_i )=\mu[/mm] und [mm]Var(X_i )=\sigma ^2[/mm] für [mm]i \in \{1,...n\}[/mm].
Zudem existiert ein [mm]k \in \IN[/mm], sodass [mm]Cov(X_i ,X_j )=0[/mm] für [mm]|i-j| \ge k[/mm].
Zeigen Sie:
[mm]\forall \epsilon > 0[/mm]
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} P(|\overline{X_n }-\mu | \ge \epsilon ) =0[/mm]
Tipp: Cauchy-Schwarz`sche-Ungleichung |
ich komme irgendwie nicht weiter....
Da steht ja fast das schwache Gesetz der großen Zahlen. Nur die Bedingung, dass die ZV stoch. unabh. sind fehlt.
Von daher müsste der Beweis ganz ähnlich wie der des Satzes gehen, also über die Chebshev-Ungleichung.
So weit so gut.
ich brauche also [mm][mm] Var(\overline{X_n })
[/mm]
[mm]Var(\overline{X_n })=Var( 1/n \summe_{i=1}^{n}X_i )=\bruch{1}{n^2}Var(\summe_{i=1}^{n}X_i )[/mm]
hier kann ich jetzt nicht wie bei dem Satz mit der unabhängigkeit arbeiten,also:
[mm]=\bruch{1}{n^2} (\summe_{i=1}^{n} Var(X_i) + 2\summe_{0\le i
[mm]\summe_{i=1}^{n} Var(X_i)= n \sigma^2[/mm], aber was ist [mm]\summe_{0\le i
ich weiß, dass [mm]Cov(X_i ,X_j )=E(X_i, X_j )-\mu ^2[/mm] ist für [mm]|i-j|< k[/mm]
allerdings sehe ich nicht, dass mir das irgendwie weiter hilft und ich sehe auch nicht, wo mir die Cauchy-Schwarz-Ungleichung helfen kann...
was hab ich üersehen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:19 Mi 18.01.2012 | | Autor: | luis52 |
Moin,
du hast schon erkannt, dass es [mm] genuegt,$\lim_{n\to\infty}\operatorname{Var}[\bar [/mm] X]=0$ zu zeigen. Vielleicht hilft die folgenden Ueberlegung:
[mm] $\operatorname{Var}[\bar X]=\frac{1}{n^2}\operatorname{Var}[\sum_{i=1}^n X_i]=\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n\operatorname{Cov}[X_i,X_j]= \frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^nc_{ij}$
[/mm]
und [mm] $|c_{ij}|\le\sigma^2$.
[/mm]
vg Luis
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