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| Aufgabe | 1.)Zeigen Sie unter Verwendung des Schubfachprinzipes, dass jede 5-elementige
Teilmenge von {1,2,3,4,5,6,7,8} mindestens zwei Zahlen enthält, deren
Summe 9 ist.
2.) Bestimmen Sie den Koeffizienten von [mm] x^2y^5 [/mm] in (x + [mm] y)^7 [/mm] und von wx^4y^3z
in (w + x + y + [mm] z)^9. [/mm] ja der Multinomialkoeffizient... bloß wie... |
Ich verzweifel hier an den Aufgaben, vorallem bei 1 weiß ich überhaupt nicht wie ich das korrekt mathematisch beweisen soll.
1.)Zeigen Sie unter Verwendung des Schubfachprinzipes, dass jede 5-elementige
Teilmenge von {1,2,3,4,5,6,7,8} mindestens zwei Zahlen enthält, deren
Summe 9 ist.
2.) Bestimmen Sie den Koeffizienten von [mm] x^2y^5 [/mm] in (x + [mm] y)^7 [/mm] und von wx^4y^3z
in (w + x + y + [mm] z)^9. [/mm] ja der Multinomialkoeffizient... bl
oß wie...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:21 Mi 05.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
ich poste Dir einfach mal meine bisherigen Überlegungen
von heute morgen, vielleicht läßt sich wenigstens was
drauf aufbauen:
> 1.)Zeigen Sie unter Verwendung des Schubfachprinzipes, dass
> jede 5-elementige
> Teilmenge von {1,2,3,4,5,6,7,8} mindestens zwei Zahlen
> enthält, deren
> Summe 9 ist.
mal so ein kleines Vorgeplänkel:
erstens:
[mm] $$9=1+8=2+7=3+6=4+5\;\;\;(=5+4=6+3=7+2=8+1)\,.$$
[/mm]
Zweitens:
Aus erstens folgt, dass wir nur zeigen müssen, dass für [mm] $j_0 \in \{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ [/mm]
eine Menge [mm] $M_{j_0}$ [/mm] der folgenden Mengen
[mm] $$M_j:=\{j,9-j\}\;\;\;(j=1,\ldots,8)$$
[/mm]
erfüllt:
[mm] $$M_{j_0} \subseteq F\,,$$
[/mm]
wenn $F [mm] \subseteq M:=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ [/mm] erfüllt: [mm] $|F|=5\,.$
[/mm]
Offenbar gilt aber [mm] $M_j=M_{9-j}\,,$ [/mm] so dass sich die Aufgabe auf folgendes
reduziert:
Ist $F [mm] \subseteq [/mm] M$ mit [mm] $|F|=5\,,$ [/mm] so existiert zu dieser Menge [mm] $F\,$ [/mm] ein
[mm] $j_0 \in \{1,2,3,4\}$ [/mm] mit [mm] $M_{j_0} \subseteq F\,.$
[/mm]
Zeigen wir dies nun also:
Zunächst gibt es offenbar ${|M| [mm] \choose [/mm] 2}={8 [mm] \choose [/mm] 2}=8*7/2!=28$ zweielementige
Teilmengen von [mm] $M\,.$ [/mm] Wie oben gesehen, sind vier dieser Teilmengen
so gestrickt, dass die Summe der beiden enthaltenen Elemente eben 9
ergibt. Also gibt es 24=28-4 zweielementige Teilmengen von [mm] $M\,$ [/mm] derart,
dass die Summe der beiden enthaltenen Elemente eben [mm] $\not=9$ [/mm] ist.
Naja, jetzt kommt die Frage, wie man nun das
Schubfachprinzip ins Spiel bringen kann...
Gruß,
Marcel
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Hallo peter9938, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Das Schubfachprinzip wird man hier wohl ein bisschen erweitern müssen...
> 1.)Zeigen Sie unter Verwendung des Schubfachprinzipes, dass
> jede 5-elementige
> Teilmenge von {1,2,3,4,5,6,7,8} mindestens zwei Zahlen
> enthält, deren
> Summe 9 ist.
>
> 2.) Bestimmen Sie den Koeffizienten von [mm]x^2y^5[/mm] in (x + [mm]y)^7[/mm]
> und von wx^4y^3z
> in (w + x + y + [mm]z)^9.[/mm] ja der Multinomialkoeffizient...
> bloß wie...
>
> Ich verzweifel hier an den Aufgaben, vorallem bei 1 weiß
> ich überhaupt nicht wie ich das korrekt mathematisch
> beweisen soll.
Es reicht übrigens, wenn Du Deine Aufgabe einmal einstellst, sie muss nicht im "task"-Feld und im folgenden Text stehen. 
zu 1)
Wie Marcel schon feststellt, gibt es vier Paare, die sich jeweils zu 9 summieren. Wir erweitern das Schubfachprinzip mal zum Schrank mit vier Schubladen. Die eine ist mit "1,8" beschriftet, die zweite mit "2,7", die dritte mit "3,6" und die vierte mit "4,5".
Nun sollen fünf Zahlen entsprechend deren Beschriftung in vier Schubladen gelegt werden. Also muss mindestens eine Schublade zwei Zahlen beinhalten.
zu 2)
[mm] x^2y^5 [/mm] hat den Koeffizienten [mm] \vektor{7\\2}=\vektor{7\\5}. [/mm] Binomischer Lehrsatz.
Den Koeffizienten von $wx^4y^3z$ kann man auch ohne Multinomialsatz herleiten.
Das w stammt aus einem der 9 Faktoren (9 Möglichkeiten), das z aus einem der 8 übrigen (8 Möglichkeiten), und die x oder y auszuwählen, geht auf [mm] \vektor{7\\3}=\vektor{7\\4} [/mm] Weisen. Die Verteilung der letzten Variable ist dann fest.
Also [mm] 9*8*\bruch{7*6*5}{1*2*3}=2520.
[/mm]
Versuch doch mal, diese Zahl mit einem Multinomialkoeffizienten zu erzeugen. Das geht.
Grüße
reverend
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