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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:21 Di 17.07.2007 | | Autor: | Theseus |
| Aufgabe | | Aus jeder Menge von $5$ ganzen Zahlen kann man immer $3$ auswählen, deren Summe durch drei teilbar ist. Man nehme an, es gäbe $a, b, c$ mit $a [mm] \equiv [/mm] 0, [mm] \equiv [/mm] 1, c [mm] \equiv [/mm] 2 (mod 3)$ Nun ist $a + b + c [mm] \equiv [/mm] 0 + 1 + 2 =0 (mod 3)$, die Summe ist also ohne Rest durch $3$ teilbar. Gibt es keine drei solche Zahlen, dann sind nach dem Schubfachprinzip drei der fünf Zahlen kongruent modulo $3$, deren Summe also auch durch $3$ teilbar. |
Hallo,
ich hab mir gerade die obige Erläuterung zum Schubfachprinzip durchgelesen, kann sich aber nicht ganz nachvollziehen. Also:
Eine Zahl kann bei Division durch 3 ja nur den Rest 0, 1 oder 2 lassen. So wie ich das verstanden habe, wählt man diese Reste nun als Schubfächer und verteilt 5 beliebige Zahlen als "Perlen" auf diese Schubfächer.
Wenn es für jedes Schubfach eine Perle gibt, dann hat man also drei Zahlen, deren Summe bei Division durch 3 den Rest 0 lässt... aber irgendwo habe ich glaube ich schon einen Denkfehler gemacht.
Kann mir jemand weiterhelfen? Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Aus jeder Menge von [mm]5[/mm] ganzen Zahlen kann man immer [mm]3[/mm]
> auswählen, deren Summe durch drei teilbar ist. Man nehme
> an, es gäbe [mm]a, b, c[/mm] mit [mm]a \equiv 0, \equiv 1, c \equiv 2 (mod 3)[/mm]
> Nun ist [mm]a + b + c \equiv 0 + 1 + 2 =0 (mod 3)[/mm], die Summe
> ist also ohne Rest durch [mm]3[/mm] teilbar. Gibt es keine drei
> solche Zahlen, dann sind nach dem Schubfachprinzip drei der
> fünf Zahlen kongruent modulo [mm]3[/mm], deren Summe also auch durch
> [mm]3[/mm] teilbar.
> Hallo,
>
> ich hab mir gerade die obige Erläuterung zum
> Schubfachprinzip durchgelesen, kann sich aber nicht ganz
> nachvollziehen. Also:
>
> Eine Zahl kann bei Division durch 3 ja nur den Rest 0, 1
> oder 2 lassen. So wie ich das verstanden habe, wählt man
> diese Reste nun als Schubfächer und verteilt 5 beliebige
> Zahlen als "Perlen" auf diese Schubfächer.
Hallo,
genau. So ist das gemeint.
Nun wurde bereits gezeigt, daß, wenn in jedem der drei Schubfächer (mindestens) eine "Perle" liegt, die Behauptung gilt.
Nun bleiben die Fälle zu untersuchen, in welchen mindestens ein Schufach leer bleibt.
1. Zwei Schubfächer leer. Dann liegen alle "Perlen" in ein und demselben Fach.
Findet man hier drei Zahlen, die die Bedingung erfüllen?
2. Genau ein Schubfach bleibt leer.
Wie können dann die Perlen auf die verbleibenden Schubfächer verteilt sein?
Findet man hier drei Zahlen, die die Bedingung erfüllen?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:48 Di 17.07.2007 | | Autor: | Theseus |
"1. Zwei Schubfächer leer. Dann liegen alle "Perlen" in ein und demselben Fach. Findet man hier drei Zahlen, die die Bedingung erfüllen? "
Moment: Muss man hier nur drei Zahlen finden, welche die Bedingung erfüllen, oder muss man alle Fälle betrachten. Ich dachte nämlich letzteres. Denn wenn z.B. alle fünf Zahlen den Rest 2 haben, dann ist natürlich keien Zahl kongruent modulo 3. Und das kann bei 5 beliebigen Zahlen doch durchaus sein?
"2. Genau ein Schubfach bleibt leer.
Wie können dann die Perlen auf die verbleibenden Schubfächer verteilt sein? Findet man hier drei Zahlen, die die Bedingung erfüllen?"
Dann gäbe es doch drei Fälle:
- Schubfach I - Rest 0
- Schubfach II - Rest 1
- Schubfach I - Rest 1
- Schubfach II - Rest 2
- Schubfach I - Rest 0
- Schubfach II - Rest 2
Wie ich oben geschrieben habe, müssten 5 beliebige Zahlen auch hier nicht notwendigerweise durch 3 teilbar sein.
Wo ist mein Denkfehler? ^^
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> "1. Zwei Schubfächer leer. Dann liegen alle "Perlen" in ein
> und demselben Fach. Findet man hier drei Zahlen, die die
> Bedingung erfüllen? "
>
> Moment: Muss man hier nur drei Zahlen finden, welche die
> Bedingung erfüllen, oder muss man alle Fälle betrachten.
> Ich dachte nämlich letzteres.
Hallo,
in der Aufgabe steht " Aus jeder Menge von $ 5 $ ganzen Zahlen kann man immer $ 3 $ auswählen,", d.h.
Du hast 5 Zahlen und sollst Dir davon drei passende aussuchen.
Denn wenn z.B. alle fünf
> Zahlen den Rest 2 haben, dann ist natürlich keien Zahl
> kongruent modulo 3. Und das kann bei 5 beliebigen Zahlen
> doch durchaus sein?
Klar. Aber es geht ja darum, ob Du unter diesen 5 Zahlen drei findest, die Du addieren kannst, so daß das Ergebnis durch drei zu teilen ist.
Und das geht.
>
> "2. Genau ein Schubfach bleibt leer.
> Wie können dann die Perlen auf die verbleibenden
> Schubfächer verteilt sein? Findet man hier drei Zahlen, die
> die Bedingung erfüllen?"
>
> Dann gäbe es doch drei Fälle:
>
> - Schubfach I - Rest 0
> - Schubfach II - Rest 1
>
> - Schubfach I - Rest 1
> - Schubfach II - Rest 2
>
> - Schubfach I - Rest 0
> - Schubfach II - Rest 2
Es ging mir bei meiner Frage weniger darum, welche Schufachkombinationen möglich sind als darum, wieviele Perlen in den beiden zur Verfügung stehenden Schufächern jeweils zu liegen kommen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:09 Di 17.07.2007 | | Autor: | Theseus |
"Klar. Aber es geht ja darum, ob Du unter diesen 5 Zahlen drei findest, die Du addieren kannst, so daß das Ergebnis durch drei zu teilen ist."
Die Ausage lautet doch: "Gibt es keine drei solche Zahlen, dann sind nach dem Schubfachprinzip drei der fünf Zahlen kongruent modulo 3, deren Summe also auch durch 3 teilbar." So wie ich das verstehe heißt das: Wenn es nicht drei solche Zahlen gibt, dann sind von 5 beliebigen Zahlen 3 Zahlen direkt kongruent modulo 3. Aber wenn alle drei Zahlen den Rest 2 lassen, ist das ja nicht möglich.
Werden die drei Zahlen aber addiert so ergibt sich wie du gesagt hast ja $a+b+c [mm] \equiv [/mm] 2+2+2=6 (mod 3)$. Also ist es so gemeint?
"Es ging mir bei meiner Frage weniger darum, welche Schufachkombinationen möglich sind als darum, wieviele Perlen in den beiden zur Verfügung stehenden Schufächern jeweils zu liegen kommen."
In jedem Schubfach sind mindestens 2 Perlen, in einem müssen 3 sein.
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> Die Ausage lautet doch: "Gibt es keine drei solche Zahlen,
die alle bei Division durch drei einen verschiedenen Rest lassen,
> dann sind nach dem Schubfachprinzip drei der fünf Zahlen
> kongruent modulo 3,
dann bleibt eines der Schubfächer leer. Und wenn eines der Schubfächer leer bleibt, liegen in einem anderen mindestens drei Perlen.
>deren Summe also auch durch 3 teilbar."
Und wenn Du diese "Perlen" addierst, wirst Du sehen daß sie bei Division durch 3 den rest 0 lassen.
> So wie ich das verstehe heißt das: Wenn es nicht drei
> solche Zahlen gibt, dann sind von 5 beliebigen Zahlen 3
> Zahlen direkt kongruent modulo 3.
Genau.
> Aber wenn alle drei
> Zahlen den Rest 2 lassen, ist das ja nicht möglich.
Was ist nicht möglich?
> Werden die drei Zahlen aber addiert so ergibt sich wie du
> gesagt hast ja [mm]a+b+c \equiv 2+2+2=6 (mod 3)[/mm]. Also ist es so
> gemeint?
Ja!!!!!!!
>
> "Es ging mir bei meiner Frage weniger darum, welche
> Schufachkombinationen möglich sind als darum, wieviele
> Perlen in den beiden zur Verfügung stehenden Schufächern
> jeweils zu liegen kommen."
>
> In jedem Schubfach sind mindestens 2 Perlen, in einem
> müssen 3 sein.
Das stimmt nicht ganz. Es kann in einem Fach auch nur eine Perle liegen, aber in jedem Fall - und das ist das Wichtige - liegen in einem der Fächer mindestens 3 Perlen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:40 Di 17.07.2007 | | Autor: | Theseus |
Danke, jetzt hab ich's!
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