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Hallo zusammen,
wenn an schreibt
> Sei [mm] x\in\IR^n
[/mm]
dann ist doc damit ein n-Tupel gemeint?
Angenommen man schreibt
> [mm] v_1,..,v_n\in\IR^n
[/mm]
dann meint man doch eine Folge, solcher Tupel?
Wenn man schreibt [mm] \{v_1,..,v_n\} [/mm] bilde eine Basis des [mm] \IR^n, [/mm] dann ist doch erstmal nicht klar, ob [mm] \{v_1,..,v_n\} [/mm] bereits die Basis Vektoren oder ob [mm] \{v_1^T,..,v_n^T\} [/mm] die Basis Spalten-Vektoren sind. Ich tendiere nämlich dazu [mm] \{v_1,..,v_n\} [/mm] als Menge von Tupeln des [mm] \IR^n [/mm] zuverstehen. Wei seht ihr das?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:38 Di 16.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo zusammen,
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> wenn an schreibt
> > Sei [mm]x\in\IR^n[/mm]
> dann ist doc damit ein n-Tupel gemeint?
Ja
>
> Angenommen man schreibt
> > [mm]v_1,..,v_n\in\IR^n[/mm]
> dann meint man doch eine Folge, solcher Tupel?
Ja, jedes [mm] v_j [/mm] ist ein n-Tupel
>
> Wenn man schreibt [mm]\{v_1,..,v_n\}[/mm] bilde eine Basis des
> [mm]\IR^n,[/mm] dann ist doch erstmal nicht klar, ob [mm]\{v_1,..,v_n\}[/mm]
> bereits die Basis Vektoren oder ob [mm]\{v_1^T,..,v_n^T\}[/mm] die
> Basis Spalten-Vektoren sind. Ich tendiere nämlich dazu
> [mm]\{v_1,..,v_n\}[/mm] als Menge von Tupeln des [mm]\IR^n[/mm] zuverstehen.
> Wei seht ihr das?
Ehrlich, ich verstehe Dein Problem nicht .
FRED
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Wenn man [mm] A=(v_1,..,v_n) [/mm] schreibt und [mm] v_i [/mm] als Spaltenvektor versteht, dann bekommt der Leser suggeriert das eine Matrix mit n-Spalten auf gebaut wird. Wenn nun aber [mm] v_1 [/mm] als Tupel auffasse dann könnte man doch auch sagen [mm] A=(v_1,..,v_n) [/mm] wird so aufgebaut, dass [mm] v_i [/mm] die Zeilenvektoren sind.
Wenn nun einfach geschrieben steht:
> [mm] \{v_1,..,v_n\} [/mm] bildet eine Basis des [mm] \IR^n
[/mm]
und weiter durch [mm] (v_1,..,v_n) [/mm] eine Matrix aufgebaut wird, die suggerieren soll es handle sich um eine Aneinanderreihung der Spaltenvektoren [mm] v_i. [/mm] Dann könnte man genauso gut meinen das man mit [mm] (v_1,..,v_n) [/mm] eigentlich eine Matrix aufbaut, mit den Zeilenvektoren [mm] v_i.
[/mm]
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> Hallo zusammen,
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> wenn an schreibt
> > Sei [mm]x\in\IR^n[/mm]
> dann ist doc damit ein n-Tupel gemeint?
>
> Angenommen man schreibt
> > [mm]v_1,..,v_n\in\IR^n[/mm]
> dann meint man doch eine Folge, solcher Tupel?
>
> Wenn man schreibt [mm]\{v_1,..,v_n\}[/mm] bilde eine Basis des
> [mm]\IR^n,[/mm] dann ist doch erstmal nicht klar, ob [mm]\{v_1,..,v_n\}[/mm]
> bereits die Basis Vektoren oder ob [mm]\{v_1^T,..,v_n^T\}[/mm] die
> Basis Spalten-Vektoren sind. Ich tendiere nämlich dazu
> [mm]\{v_1,..,v_n\}[/mm] als Menge von Tupeln des [mm]\IR^n[/mm] zuverstehen.
> Wei seht ihr das?
Jeder einzelne Basisvektor des Raumes [mm] \IR^n [/mm] ist doch
ein Vektor [mm] v_i\in\IR^n [/mm] , also ein n-Tupel reeller Zahlen.
Ob du dann die Vektoren noch als Zeilen- oder als
Spaltenvektoren schreiben willst, hat damit gar nichts
zu tun.
LG , Al-Chw.
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Wenn man das so sieht, kann ich nur Fragen: woher willst du wissen was nun [mm] (v_1,..,v_n) [/mm] eben für eine Matrix sein soll, wenn aus dem Kontext beide Variationen möglich sind.
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> Wenn man das so sieht, kann ich nur Fragen: woher willst du
> wissen was nun [mm](v_1,..,v_n)[/mm] eben für eine Matrix sein
> soll, wenn aus dem Kontext beide Variationen möglich sind.
Na, es sind eben beide Schreibweisen möglich.
Die Wahl hast du ...
Wenn du magst, könntest du die Komponenten
eines Vektors auch von unten nach oben oder
von rechts nach links anordnen ...
(sich an deine Notation zu gewöhnen, bliebe
dann deinen Lesern überlassen) 
LG , Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:24 Di 16.04.2013 | | Autor: | Reduktion |
Ja das stimmt, aber ich habe diese interpretation aus dem Buch Mathematische Statistik (2011, Czado Schmidt, S. 198). Ich weiß welche Matrix mit [mm] A^T [/mm] gemeint ist. Aber ganuso gut würde es genügen A zu schreiben, wenn man eh weiß welche Matrix gemeint ist, da dies von der Aufbau-Regel abhängt, welche ABER nicht erklärt wird. Also dacht ich mir muss man sowas nicht wirklich erklären.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Di 16.04.2013 | | Autor: | Reduktion |
Dann wäre für mich eine natürliche Sicht das [mm] (v_1,..,v_n) [/mm] eine Matrix ist, wobei [mm] v_i [/mm] die Zeilen sind weil Tupel horizontal aufgestellt sind. [mm] (v_1,..,v_n) [/mm] als die aneinander Reihung von Spaltenvektoren zu verstehen hat irgendwie optische Vorteile, wirkt aber unnatürlich, wenn man als aufbau von der Tupel schreibweise ausgeht.
Es steht halt die Frage im Raum wenn man die [mm] (v_1,..,v_n) [/mm] als ein langes Tupel sieht und eine Matrix A formt, der Art dass [mm] A\in\IR^{n\times n}. [/mm] Woher will man wissen ob die Matrix Zeilenweise oder Spaltenweise aufgebaut wird?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:50 Fr 03.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Dann wäre für mich eine natürliche Sicht das
> [mm](v_1,..,v_n)[/mm] eine Matrix ist, wobei [mm]v_i[/mm] die Zeilen sind
> weil Tupel horizontal aufgestellt sind. [mm](v_1,..,v_n)[/mm] als
> die aneinander Reihung von Spaltenvektoren zu verstehen hat
> irgendwie optische Vorteile, wirkt aber unnatürlich, wenn
> man als aufbau von der Tupel schreibweise ausgeht.
naja, wenn alle [mm] $v_j \in \IR^{1 \times n}$ [/mm] sind, dann habe ich irgendwann auch "Platzprobleme":
Ich überlege mir gerade, wie man die Übersicht behalten soll, wenn man
30 Vektoren des [mm] $\IR^{1 \times 25}$ [/mm] nebeneinanderschreibt (nicht, dass das nicht ginge).
Bei einer [mm] $\IR^{30 \times 25}$-Matrix $A\,$ [/mm] finde ich aber etwa den Eintrag [mm] $a_{17,19}$ [/mm]
'mit Methode' doch "relativ schnell".
Gruß,
Marcel
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Also kann man für [mm] (x_1,..x_n) [/mm] genauso gut den Begriff Vektor verwenden wie für [mm] (x_1,..x_n)^T [/mm] ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:04 Fr 03.05.2013 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Also kann man für [mm](x_1,..x_n)[/mm] genauso gut den Begriff
> Vektor verwenden wie für [mm](x_1,..x_n)^T[/mm] ?
ein Vektor ist ein Element eines Vektorraums, wie Du den bezeichnest ist bzw. welche Notation Du dafür verwendest ist vollkommen Dir überlassen.
[mm] $x^2$, [/mm] c und [mm] $\nabla$ [/mm] sind ebenso Vektoren wie [mm] $\vec{a}$ [/mm] , [mm] $\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\\1\\1\end{array}\right)$ [/mm] und $(1,2)$.
Gruß,
notinX
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:58 Fr 03.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> > Also kann man für [mm](x_1,..x_n)[/mm] genauso gut den Begriff
> > Vektor verwenden wie für [mm](x_1,..x_n)^T[/mm] ?
>
> ein Vektor ist ein Element eines Vektorraums,
richtig: Das ist DIE Definition, die man erstmal benutzen sollte!
> wie Du den
> bezeichnest ist bzw. welche Notation Du dafür verwendest
> ist vollkommen Dir überlassen.
> [mm]x^2[/mm], c und [mm]\nabla[/mm] sind ebenso Vektoren wie [mm]\vec{a}[/mm] ,
> [mm]\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\\1\\1\end{array}\right)[/mm] und
> [mm](1,2)[/mm].
Na, sagen wir es mal so: Wenn wir etwa einen [mm] $n\,$-dimensionalen [/mm] Vektorraum
über [mm] $\IK$ [/mm] haben, so können wir den - vermittels der Koordinatenabbildung - mit
dem [mm] $\IK^n$ [/mm] identifizieren. Mit dieser Identifizierung kann man sich danach auch
dann die Frage stellen, ob man [mm] $\IK^n \cong \IK^{1 \times n}$ [/mm] oder [mm] $\IK^n \cong \IK^{n \times 1}$ [/mm] identifizeren will.
Was allerdings tatsächlich oft "didaktisch" untergeht, ist, was eine Familie von
etwa Spaltenvektoren [mm] $(a_1,...,a_\ell)$ ($a_j \in \IK^{1 \times n}$) [/mm] mit einer Identifikation mit einer Matrix
[mm] $\IK^{n \times \ell} \ni [/mm] A$ " [mm] $\cong$ [/mm] " [mm] $(a_1,...,a_\ell)$ [/mm] zu tun hat. Das Ganze ist für alle irgendwie "selbstverständlich"
bzw. selbsterklärend...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:30 Fr 03.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
schreibe
$$\IR^n:=\{f \colon \{1,...,n\} \to \IR:\;\;f\text{ ist eine Abbildung}\}$$
Dann machst Du Dir keine Gedanken, ob $\IR^n \cong \IR^{n \times 1}$ oder $\IR^n \cong \IR^{1 \times n}$ identifiziert wird.
Das ist doch alles nur Konventionssache. Übrigens ist doch hier schon direkt
eine Konvention ersichtlich, wenn Du
$$A=(a_1,a_2)$$
für $a_{1},\,a_2 \in \IR^n$ schreibst: Bei der Matrix $A\,$ werden die Klammern
um die Vektoren $a_1,a_2$ gar nicht hingeschrieben. Wenn Du rein per Definitionem
etwa für $a_1=\vektor{a_{1,1}\\a_{2,1}}$ und $a_2=\vektor{a_{1,2}\\a_{2,2}}$ einsetzt,
sieht $A\,$ doch erstmal so aus:
$$A=(a_1,a_2)=\left(\red{\left( \black{\begin{matrix}a_{1,1}\\a_{2,1}\end{matrix}}\right), \red{\left(\black{\begin{matrix}a_{1,2}\\a_{2,2}\end{matrix}}\right)}\right)$$
Das rotmarkierte schreibst Du aber gar nicht mehr.
Ebenso, wenn Du
$$B=\vektor{{a_1}^T\\{a_2}^T}$$
schreibst:
$$B=\vektor{\red{(}a_{1,1},a_{2,1}\red{)}\\\red{(}a_{1,2},a_{2,2}\red{)}}$$
Das ganze deutet doch eher "einen natürlichen 'Aufbau' der Matrix an".
Ebenso schreibst Du sicher nicht für $a^Tb\,,$ wenn $a,b \in \IR^n$ sind, das
Egebnis als $1 \times 1$-Matrix: $(2,3,4)*\vektor{4\\5\\6}=(2*4+3*5+4*6)=(8+15+24)=(47)\,,$
sondern Du schreibst $(2,3,4)*\vektor{4\\5\\6}=...=47\,.$ Was machst Du da? Nun:
Du identifizierst $\IR^{1 \times 1}$ mit $\IR\,.$
Das sind halt, kurzgesagt: "Natürliche Identifizierungsgeschichten!"
In diesem Sinne kannst Du auch sowas wie das Matrixprodukt definieren,
wenn Du "eine jede der beiden Matrizen als Folge von Zeilenvektoren"
hinschreibst. Das wird nur sehr unübersichtlich, und man fängt etwa an,
Kommas zu zählen, muss gucken, zu welchem Vektor welcher Eintrag gehört
("was" umfasst das letzte Klammernpaar) oder sowas.
Beispiel: $(1,2,3)*\pmat{1 &3\\ 1 &4\\ 1 &0}=(6,11)\,.$
Definiere ich für zwei endliche Familien:
$$(a_1,...,a_\ell),\;(b_1,...,b_m)$$
von Vektoren $a_1,...,a_\ell;\;b_1,...,b_m \in \IR^n$ die Multiplikation $\bullet$
durch
$$(a_1,...,a_\ell) \bullet (b_1,...,b_m):=\left(\sum_{k=1}^n a_{i,k}b_{i,k}\right)_{i=1,...,\ell}\,,$$
so habe ich im Prinzip nichts anderes hingeschrieben wie das, was bei der
Definition des Matrixproduktes steht.
In obigem Beispiel würden wir - mit dieser Definition - rechnen:
Anstatt
$$(1,2,3)*\pmat{1 &3\\ 1 &4\\ 1 &0}$$
rechnen wir
$$((1,2,3)) \bullet ((1,1,1),\;(3,4,0))=(1*1+2*1+3*1,\;1*3+2*4+3*0)=(6,11)\,.$$
(Und damit Du siehst, wie unübersichtlich das wird: Stelle Dir mal vor,
linkerhand stünden 5 Zeilenvektoren mit jeweils 3 Einträgen...)
Nun weißt Du, dass $A*B\,$ für Matrizen nur dann definiert ist, wenn die
Anzahl der Spalten von $A\,$ mit der Anzahl der Zeilen von $B\,$ übereinstimmt.
Bei der "Familien-Notation" haben wir das auch: $\bullet$ ist nur definiert,
wenn die Elemente aus der ersten Familie, die ja aus dem $\IR^n$ sind, zusammenpassen
mit den Elementen aus der zweiten Familie: Diese müssen dann auch aus dem
$\IR^n$ sein.
Sowas kennt man übrigens, es wird in manchen Aussagen nur anders verpackt:
Was hat denn das "Standardskalarprodukt $a^Tb\,$" mit dem Matrixprodukt zu tun?
Gruß,
Marcel
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