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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:55 Mo 15.09.2008 | | Autor: | Feiratos |
| Aufgabe | Sei A und B nach oben beschränkte nichtllere Mengen positiver reeler Zahlen und sei D:= $ [mm] \{a*b : a\in A und b\in B \}. [/mm] $
Beweisen Sie, dass D nach oben beschränkt ist und supD = supA*supB gilt. |
Eben hatte ich eine ähnliche Aufgabe gehabt, und versuche jetzt diese auch mal zu lösen.
Für alle [mm] a\inA [/mm] und [mm] b\inBgilt:
[/mm]
[mm] supA\ge [/mm] a und [mm] supB\ge [/mm] b
es folgt:
supA*supB [mm] \ge [/mm] a*supB und [mm] a*supB\ge [/mm] a*b
also [mm] supA*supB\ge [/mm] a*b
Also ist supA*supB eine obere Schranke von D, damit ist D nach oben beschränkt.
Beweis:
von supD= SupA*supB
sei [mm] \lambda [/mm] eine obere Schranke von D
zu zeigen:
dass [mm] \lambda\ge [/mm] supA*supB ist
dazu:
sei [mm] \lambda [/mm] eine obere Schranke von D
es folgt für alle [mm] a\in [/mm] A und für alle b [mm] \in [/mm] B : [mm] \lambda \ge [/mm] a*b
für alle b [mm] \in [/mm] B : [mm] \lambda/b [/mm] obere Schranke von A
für alle b [mm] \in [/mm] B : [mm] \lambda/b \ge [/mm] supA
für alle b [mm] \in [/mm] B : [mm] \lambda/supA\ge [/mm] b
a/supA obere Schranke von B
[mm] \lambda/supA \g [/mm] supB
[mm] \lambda \ge [/mm] supA*supB
ist das richtig?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Mo 15.09.2008 | | Autor: | pelzig |
Warum müssen die Mengen $A,B$ positiv sein?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:14 Di 16.09.2008 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Feiratos,
> Sei A und B nach oben beschränkte nichtllere Mengen
> positiver reeler Zahlen und sei D:= [mm]\{a*b : a\in A und b\in B \}.[/mm]
>
> Beweisen Sie, dass D nach oben beschränkt ist und supD =
> supA*supB gilt.
> Eben hatte ich eine ähnliche Aufgabe gehabt, und versuche
> jetzt diese auch mal zu lösen.
>
> Für alle [mm]a\inA[/mm] und [mm]b\inBgilt:[/mm]
> [mm]supA\ge[/mm] a und [mm]supB\ge[/mm] b
>
> es folgt:
> supA*supB [mm]\ge[/mm] a*supB und [mm]a*supB\ge[/mm] a*b
>
> also [mm]supA*supB\ge[/mm] a*b
>
> Also ist supA*supB eine obere Schranke von D, damit ist D
> nach oben beschränkt.
>
> Beweis:
> von supD= SupA*supB
>
> sei [mm]\lambda[/mm] eine obere Schranke von D
>
> zu zeigen:
> dass [mm]\lambda\ge[/mm] supA*supB ist
> dazu:
>
> sei [mm]\lambda[/mm] eine obere Schranke von D
>
> es folgt für alle [mm]a\in[/mm] A und für alle b [mm]\in[/mm] B : [mm]\lambda \ge[/mm]
> a*b
> für alle b [mm]\in[/mm] B : [mm]\lambda/b[/mm] obere Schranke von A
> für alle b [mm]\in[/mm] B : [mm]\lambda/b \ge[/mm] supA
> für alle b [mm]\in[/mm] B : [mm]\lambda/supA\ge[/mm] b
> a/supA obere Schranke von B
> [mm]\lambda/supA \ge[/mm] supB
> [mm]\lambda \ge[/mm] supA*supB
>
> ist das richtig?
Ich denke, ja. Allerdings solltest Du noch dazu schreiben, wo Du jeweils die Voraussetzung A; B enthalten nur positive Zahlen benutzt.
Gruß
Sigrid
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