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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:55 So 21.11.2010 | | Autor: | JoHe |
| Aufgabe | Betrachten Sie folgende rekursive Folge [mm] a_{n} [/mm] mit [mm] a_{1} [/mm] = 7 und [mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] (a_{n} [/mm] + [mm] \bruch{7}{a_{n}}).
[/mm]
a) Zeigen Sie, dass die Folge durch die Zahl 0 nach unten beschränkt ist.
b) Zeigen Sie, dass die Folge monoton fallend ist.
c) Warum konvergiert die Folge? |
Hallo,
Ich sitz jetzt schon eine Weile an dieser Aufgabe und habe mir schon so meine Gedanken gemacht. Leider komme ich aber irgendwie nicht weiter.
Die Folge ist ja das bekannte Heron Verfahren wenn ich nich ganz falsch liege. Also wird hier der Grenzwert wohl [mm] \wurzel{7} [/mm] sein wenn ich mich nicht irre.
Bei der ersten Teilaufgabe wollte ich jetzt zeigen, das die Folge nie negativ wird, also das
[mm] a_{n}\ge0 [/mm] ist. Jetzt fehlt mir aber irgendwie das Know-How, das richtig aufzuschreiben, bzw kann ich am Ende nicht erkennen ob ich nun wirklich was gescheites raus habe :)
Beim zweiten Teil, will ich zeigen, dass [mm] a_{n}{2}-7\ge0 [/mm] ist. Nun habe ich da auch schon rumgerechnet komme aber auch auf nichts gescheits. Vielleicht kann mir jemand von euch hier einen kleinen Denkanstoß geben.
[mm] a_{n}{2}-7\ge0 [/mm] =
[mm] \bruch{1}{4} [/mm] * ( [mm] a_{n}^{2} [/mm] + 2 * [mm] a_{n} [/mm] * [mm] \bruch{7}{a_{n}} [/mm] - [mm] \bruch{49}{a_{n}^{2}}) [/mm] - 7
Wie verfahre ich nun weiter? Soll ich die -7 in die Klammer reinziehen? Wäre für jeden Denkanstoß dankbar
Grüße
Johannes
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Hallo Johe,
machen wir das mal Schritt für Schritt:
i) Versuch mal nicht zu zeigen, dass [mm] $a_n \ge [/mm] 0$, sondern [mm] $a_{n+1} \ge [/mm] 0$
Du wirst das natürlich nicht zu einer wahren Aussage umformen können, aber zumindest so, dass du herausfindest unter welchen Bedingungen an [mm] a_n [/mm] die Ungleichung gilt.
Und dann kannst du induktiv schliessen, dass alle Folgenglieder grössergleich Null sind, weil die Bedingung, die du herausbekommst, bestimmt für [mm] a_1 [/mm] gilt
ii) Was rechnest du hier komisch rum mit $a_n2 - 7 [mm] \ge [/mm] 0$ ??
Du sollst zeigen, dass die Folge monoton fallen ist, d.h. zeige dass [mm] $a_{n+1} \le a_n$ [/mm] gilt!
Und ganz zum Schluß können wir uns daran machen, den GW auszurechnen, was im übrigen dann recht einfach geht.
Aber wenn du i) und ii) hast, reicht das bereits um zu wissen, dass die Folge monoton ist?
Wenn ja, warum, wenn nein, warum nicht.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:05 Di 23.11.2010 | | Autor: | JoHe |
Ok das mit dem [mm] a^2_{n}, [/mm] stand bei uns bei der b als Hinweis dabei. Deswegn wollte ich damit anfangen. War mir nicht sicher ob es damit was zu tun hat. Weil ich ja, wie du gesagt, um die Monotonie zu zeigen einfach zeigen muss, dass [mm] a_{n+1} \le a_{n} [/mm] ist.
Problem ist jetzt für mich das ich nichts mit dem [mm] a_{n} [/mm] anfangen kann, da ich ja nur [mm] a_{1} [/mm] und [mm] a_{n+1} [/mm] habe. ALso ich kann mir nichts unter [mm] a_{n} [/mm] vorstellen.
Wenn ich jetzt anfange [mm] a_{n+1}\ge0 [/mm] auszurechnen komme ich auf folgendes:
[mm] a_{n+1}\ge0
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2}*(a_{n}+\bruch{7}{a_{n}})\ge0
[/mm]
= [mm] a_{n}+\bruch{7}{a_{n}}\ge0
[/mm]
Hätte ich jetzt damit gezeigt, das [mm] a_{n}\ge0 [/mm] ist?
Daraus könnte ich dann auch noch schließen, dass wenn [mm] a_{n+1}\ge0 [/mm] ist und [mm] a_{n}\ge0 [/mm] ist, dass daraus folgt, das die untere Schranke 0 ist?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:13 Di 23.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. dass die [mm] a_n>0 [/mm] sind ist klar, weil [mm] a_1>0 [/mm] und da damit nur positive Summanden stehen
Wenn du weisst, dass das arithmetische mittel [mm] \ge [/mm] dem geometrischen ist, hast du auch gleich [mm] a_n>\wurzel{7} [/mm] bzw [mm] a_n^2>7 [/mm] für n>1
das benutz man dann bei der Monotonie.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:27 Di 23.11.2010 | | Autor: | JoHe |
Mir ist einfach nicht klar wie genau ich die Monotonie und die Beschränktheit genau zeige.
Ich hab auch ein Beispiel im Skript stehen nur leider ist darauf nichts ersichtlich.
Wenn ich die Monotonie zeigen will, dann muss ich zeigen, dass
[mm] a_{n}\ge a_{n+1} [/mm] ist:
Daraus folgt für mich:
[mm] a_{n}\ge\bruch{1}{2}*(a_{n}+\bruch{7}{a_{n}})
[/mm]
Forme ich dies um bekomm ich am Ende raus:
[mm] a^2_{n}\ge7 [/mm] bzw.
[mm] a_{n}\ge\wurzel{7}
[/mm]
Mein Problem ist nun das ich daraus nicht wirklich ablesen kann, das die Folge monoton fallend ist. Könnte ich sagen, da [mm] a_{1}=1 [/mm] und [mm] a_{n}=\wurzel{7} [/mm] fällt die Folge, da [mm] \wurzel{7}\le7
[/mm]
Zur Beschränkheit:
Muss ich jetzt da einfach nur zeigen das [mm] a_{n}\be0 [/mm] und [mm] a_{n+1}\be0 [/mm] sind? Damit kann ich doch dann induktiv schließen, dass die Folge immer positiv ist und damit beschränkt durch 0?
Gruß
Johannes
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Huhu,
> Forme ich dies um bekomm ich am Ende raus:
> [mm]a^2_{n}\ge7[/mm] bzw.
> [mm]a_{n}\ge\wurzel{7}[/mm]
Fast richtig, du hast bei deinen Umformungen angenommen, dass [mm] a_n \ge [/mm] 0 anscheinend gilt, obwohl du das noch nicht gezeigt hast. Aber da das hier mal stimmt, ignorier ich das mal.
Das heisst nun (in Worten): Das nächste Folgenglied ist genau dann kleiner als das vorherige, wenn das vorherige Folgenglied grösser ist als [mm] \sqrt{7}.
[/mm]
Überlege dir nun, dass die Folge genau dann monoton fallen ist, wenn alle Folgenglieder grösser als [mm] \sqrt{7} [/mm] sind.
Das müsstest du also noch zeigen.
> Zur Beschränkheit:
> Muss ich jetzt da einfach nur zeigen das [mm]a_{n}\be0[/mm] und
> [mm]a_{n+1}\be0[/mm] sind? Damit kann ich doch dann induktiv
> schließen, dass die Folge immer positiv ist und damit
> beschränkt durch 0?
Naja, Beschränktheit durch Null wäre möglich zu zeigen, aber besser wäre es doch zu zeigen, dass [mm] \sqrt{7} [/mm] eine untere Schranke ist, denn dann würde dir das fehlende Stück zum Monotoniebeweis gleich noch geschenkt werden 
Zeige dazu: [mm] $a_{n+1} \ge \sqrt{7}$ [/mm]
Du wirst natürlich wieder eine Aussage in Abhängigkeit von [mm] a_n [/mm] erhalten und musst dir nur noch überlegen, warum du damit dann bereits für alle [mm] a_n [/mm] die Beschränktheit gezeigt hast.
MFG,
Gono.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:44 Di 23.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja, damit kannst du zeigen, dass [mm] a_n [/mm] durch 0 nach unten beschränkt ist. aber für das monotone Fallen braucht man die untere Schranke [mm] \wurzel{7}, [/mm] wie du die zeigen kannst hab ich im vorigen post geschrieben.
wenn man das hat zeigt man leicht [mm] a_n-a_{n+1}>0
[/mm]
Gruss leduart
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