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| Aufgabe | Bestimmen Sie die Geradengleichungen für linke und rechte Asymptote ( falls sie existieren) der Funktion
f(x) = [mm] \wurzel{x^2-4x} [/mm] |
Hallo,
eine schräge Asymptote ist eine Gerade der Form y = px+q
Gesucht sind hier also p und q
p = [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{f(x)}{x} [/mm] ( hier gibt es nur diesen einen Fall, also x gegen minus unendlich gibt es laut Skript nicht)
q = [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] f(x) -px
UND noch mal für minus unendlich
q = [mm] \limes_{x\rightarrow\-infty} [/mm] f(x) - px
ALso p ist, p = [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{\wurzel{x^2-4x}}{x} [/mm] = 1 das verstehe ich noch
und jetzt kommt's:
q = [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] f(x)- x
q = [mm] \limes_{x\rightarrow\MINUS infty} \wurzel{x^2-4x}-x
[/mm]
Hier hat er dann mit der dritten Binomischen Formel erweitert usw und hat -2 raus, das bekomme ich auch raus.
Aber für MInus unendlich ist q auch wieder -2, das heißt, es gibt nur eine Asymptote
Warum steht in der Lösung aber: rechte Asymptote: y = x-2
und linke Asymptote : y = -x+2
Ich verstehe nicht, wie er auf y = -x+2 rauskommt, das ist ja anscheinend nur die Spiegelung von der rechten Asymptote, aber das widerspricht ja der Formel, oder nicht? Denn laut Formel kann es verschiedene q geben, wenn der Grenzwert x gegen unendlich verschieden ist von x gegen minus unendlich, hier sind sie aber beide gleich.
Wo ist mein Denkfehler?
Vielen Dank im Voraus.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:22 Mo 20.02.2017 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Bestimmen Sie die Geradengleichungen für linke und rechte
> Asymptote ( falls sie existieren) der Funktion
>
> f(x) = [mm]\wurzel{x^2-4x}[/mm]
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>
> Hallo,
>
> eine schräge Asymptote ist eine Gerade der Form y = px+q
>
> Gesucht sind hier also p und q
>
> p = [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{f(x)}{x}[/mm] ( hier gibt
> es nur diesen einen Fall, also x gegen minus unendlich
> gibt es laut Skript nicht)
>
> q = [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm] f(x) -px
>
> UND noch mal für minus unendlich
>
> q = [mm]\limes_{x\rightarrow\-infty}[/mm] f(x) - px
>
>
> ALso p ist, p = [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{\wurzel{x^2-4x}}{x}[/mm]
> = 1 das verstehe ich noch
Bei dem linken Grenzwert ist f
[mm] p=\lim_{x\to\red{-}\infty}\frac{\sqrt{x^{2}-4x}}{x}=\red{-}1
[/mm]
Berechne damit dein q für [mm] \lim_{x\to-\infty} [/mm] nochmal neu.
>
> und jetzt kommt's:
>
> q = [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm] f(x)- x
>
> q = [mm]\limes_{x\rightarrow\MINUS infty} \wurzel{x^2-4x}-x[/mm]
>
> Hier hat er dann mit der dritten Binomischen Formel
> erweitert usw und hat -2 raus, das bekomme ich auch raus.
>
> Aber für MInus unendlich ist q auch wieder -2, das heißt,
> es gibt nur eine Asymptote
>
> Warum steht in der Lösung aber: rechte Asymptote: y = x-2
> und linke Asymptote : y = -x+2
Das stimmt dann auch mit der Skizze überein. Meist ist es sinnvoll, die Funktionen einmal zu skizzieren.
[Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Ich verstehe nicht, wie er auf y = -x+2 rauskommt, das ist
> ja anscheinend nur die Spiegelung von der rechten
> Asymptote, aber das widerspricht ja der Formel, oder nicht?
Nein
> Denn laut Formel kann es verschiedene q geben, wenn der
> Grenzwert x gegen unendlich verschieden ist von x gegen
> minus unendlich, hier sind sie aber beide gleich.
>
> Wo ist mein Denkfehler?
In der Berechung der Asymptotensteigung p.
>
> Vielen Dank im Voraus.
Marius
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hallo,
aber im Skript steht, dass die Steigung p nur für x gegen plus unendlich betrachtet wird, der Fall für x gegen minus unendlich wurde nie betrachtet.
Des Weiteren ist q ja immer noch -2, für plus unendlich, als auch für minus unendlich. Woher kommt die +2 dann her?
Skizze in der Klausur wird etwas eng, die Zeit ist sowieso knapp, vor allem für ne Wurzelfunktion. Ich muss mich da leider auf die Formeln verlassen können.
Dann die zweite Frage zum Grenzwert, verstehe nicht, wie man da auf -1 kommt:
Also zu berechnen ist
$ [mm] p=\lim_{x\to\red{-}\infty}\frac{\sqrt{x^{2}-4x}}{x} [/mm] $
= [mm] \lim_{x\to\red{-}\infty}\frac{\sqrt{x^{2}(1-\bruch{4x}{x^2}})}{x}
[/mm]
= [mm] \lim_{x\to\red{-}\infty}\frac{x*\sqrt{(1-\bruch{4x}{x^2}})}{x}
[/mm]
= [mm] \lim_{x\to\red{-}\infty}\sqrt{1-\bruch{4}{x}}
[/mm]
Was für mich jetzt 1 wäre, weil 4/x = 0 ist. Wo ist mein Fehler, dass ich nicht auf die -1 komme?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:13 Mo 20.02.2017 | | Autor: | Loddar |
Hallo pc_doctor!
> aber im Skript steht, dass die Steigung p nur für x gegen
> plus unendlich betrachtet wird, der Fall für x gegen minus
> unendlich wurde nie betrachtet.
Dann macht aber die Fragestellung nach zwei Asymptoten wenig Sinn!
> Dann die zweite Frage zum Grenzwert, verstehe nicht, wi
> man da auf -1 kommt:
> Also zu berechnen ist
> [mm]p=\lim_{x\to\red{-}\infty}\frac{\sqrt{x^{2}-4x}}{x}[/mm]
> = [mm]\lim_{x\to\red{-}\infty}\frac{\sqrt{x^{2}(1-\bruch{4x}{x^2}})}{x}[/mm]
> = [mm]\lim_{x\to\red{-}\infty}\frac{x*\sqrt{(1-\bruch{4x}{x^2}})}{x}[/mm]
Und hier aufgepasst: es gilt: [mm] $\wurzel{x^2} [/mm] \ = \ |x|$ .
Und für $x \ < \ 0$ gilt: $|x| \ = \ -x$
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:15 Mo 20.02.2017 | | Autor: | pc_doctor |
Hallo,
oh, stimmt, vielen Dank für die Antworten.
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