Schnittwinkel einer Geraden < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:10 Mi 15.02.2012 | | Autor: | darek89 |
| Aufgabe | Es sei [mm] G_1 [/mm] und [mm] G_2 [/mm] in [mm] R^3 [/mm] mit dem Parameterdarstellungen [mm] G_1 [/mm] = { [mm] x=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] t\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm] } bzw [mm] G_2 [/mm] ={ [mm] \vex [/mm] x = [mm] \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] + s [mm] \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm] }
Bestimmen Sie den Schnittwinkel [mm] \alpha \in [/mm] [0,pi] |
Den Schnittwinkel berechne ich mit der Formel [mm] cos\alpha=\bruch{ \left| \vec u \cdot \vek v\right|}{\left| \vec u \right|\cdot \left| \vec v \right|}.
[/mm]
Dann erhalte ich als Ergebniss [mm] \bruch{4}{ \wurzel{6} \cdot \wurzel{8}}.
[/mm]
In der Lösung wird als Ergebniss [mm] \bruch{1}{6}PI [/mm] angegeben.
Wie erhalte ich diese Lösung ohne den Taschenrechner zu verwenden.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:31 Mi 15.02.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du hast dich beim Skalarprodukt verrechnet:
Es gilt:
[mm] $\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2\\0\\2\end{pmatrix}=1\cdot2+0\cdot2+2\cdot2=6 [/mm] $
Und:
[mm] \left|\begin{pmatrix}2\\0\\2\end{pmatrix}\right|=\sqrt{2^{2}+0^{2}+2^{2}}=\sqrt{8}
[/mm]
Also:
[mm] \cos(\alpha)=\frac{6}{\sqrt{6}\cdot\sqrt{8}}
[/mm]
[mm] =\frac{6}{\sqrt{48}}
[/mm]
[mm] =\frac{6}{\sqrt{3\cdot16}}
[/mm]
[mm] =\frac{6}{4\sqrt{3}}
[/mm]
[mm] =\frac{3}{2\sqrt{3}}
[/mm]
[mm] =\frac{\sqrt{3}}{2}
[/mm]
Und das ist ein Tabellenwert, wie man ![[]](/images/popup.gif) hier nachlesen kann.
Marius
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