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habe noch eine weitere Frage, bin mir aber nicht sicher, ob jemand eine Antwort darauf weiß
Folgendes
Mein Lehrer hat mal erzählt, dass man an einer Funktion schon ablesen kann ob Nullstellen Schnitt- oder Berührpunkte sind.
Bei der Funktion:
f'(x) = -2x (x - 2)² (x - 4)
habe ich die Nullstellen 0 2 4 rausgefunden.
kann ich jetzt erkennen ob Schnittpunkte vorliegen?
Hoffe, dass jemand etwas damit anfangen kann
Liebe Grüße
HeinBloed
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Juliane,
> Mein Lehrer hat mal erzählt, dass man an einer Funktion
> schon ablesen kann ob Nullstellen Schnitt- oder
> Berührpunkte sind.
>
> Bei der Funktion:
> f'(x) = -2x (x - 2)² (x - 4)
>
> habe ich die Nullstellen 0 2 4 rausgefunden.
>
> kann ich jetzt erkennen ob Schnittpunkte vorliegen?
bei x=2 liegt eine sog. "doppelte" Nullstelle vor [mm] \gdw [/mm] auch die 1. Ableitung wird an dieser Stelle Null
[mm] \gdw [/mm] dort liegt eine Berührstelle und keine Schnittstelle vor.
allgemein: doppelte Nullstellen [mm] \gdw [/mm] Extremstellen
dreifache Nullstellen [mm] \gdw [/mm] Sattelpunkte
![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]")
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Dein Lehrer hat recht man kann es erkennen und es ist sogar denkbar einfach.
Die erste Ableitung gibt den Anstieg deiner Funktion in einem bestimmten Punkt an.
Wenn deine Funktion nun in einer Nullstelle eine bestimmten anstieg hat schneidet sie die Achse. bei positivem anstieg von unten nach oben, bei negativem Anstieg kommt sie von oben und schneidet die x-Achse von dort.
Nur für den Spezialfall, dass der Anstieg gleich Null ist, wir also eine Extremstelle, an derselben Stelle, wie deiner Nulstelle haben berühren sie sich nur in diesem Punkt. Geschnitten wird sie dann nicht, allerdings musst du aufpassen, denn die 2. Ableitung muss ungleich null sein. Denn wenn die 2. Ableitung null ist haben wir einen Sattelpunkt und die Funktion schneidet die Achse doch.
kurz.
Berührpunkt nur dann, wenn f(x1)=0 f'(x1)=0 und f''(x1) [mm] \not=0
[/mm]
ansonsten hast du lediglich nen Schnittpunkt.
Hoffe es war verständlich. weiterhin viel spaß mit Mathe.
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Tut mir leid, aber das versteh ich leider nicht.
Wie kann ich der Funktion denn ablesen ob sie in der Nullstelle steigt oder fällt?
Kann ich das sofort, auf einen Blick, erkennen?
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N auf einen Blick sicher nicht, aber wenn du dir dazu die Ableitung dazu nimmst, und den Anstieg an der nullstelle feststellst, dann kannst du Aussagen über das verhalten der Funktion in diesen Punkten treffen.
Die 1. Ableitung sagt dir,m ob die Funktion in diesem Punkt fällt oder steigt. Du musst natürlich den x Wert in die Ableitung einsetzten einsetzten und wenn das ergebniss größer null ist steigt die Funktion in dem Punkt und kommt folglich von unten. Fällt sie ist es genau anders rum.
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