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| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion f(x) = [mm] -x^{4} [/mm] + [mm] 2x^{3}
[/mm]
a) Untersuchen Sie f(x) auf Schnittpunkte mit der x-Achse und Punkte mit waagerechter Tangente
b) t(x) ist die Tangente an f(x) in P (1|f(1)). Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente. Ermitteln Sie die Schnittpunkte von t(x) mit f(x)
c) In welchem Punkt hat f(x) eine Normale mit der Steigung [mm] \bruch{31}{8} [/mm] ? Geben Sie die Gleichung der Normalen an. |
Hallo , zu a) habe ich das hier :
f(x) = 0
=> 0 = [mm] -x^{4} [/mm] + [mm] 2x^{3} [/mm] | * (-1)
=> 0 = [mm] x^{4} [/mm] - [mm] 2x^{3}
[/mm]
=> 0 = x( [mm] x^{3}-2x^{2})
[/mm]
Damit habe ich einen Punkt , nämlich 0 , wenn ich für das erste x Null einsetze , wird der Ausdruck in der Klammer auch Null.
Das habe ich dann noch weiter ausgeklammert :
=> 0 = [mm] x(x(x^{2}-2x)) [/mm] , für das 2. x kann ich auch wieder Null einsetzen , dann wird der Audruck in der Klammer wieder null (2. Nullstelle ).
Dann habe ich noch [mm] x^{2} [/mm] - 2x , mit der Lösungsformel x berechnet : [mm] x_3 [/mm] = 0 und [mm] x_4 [/mm] = 2 , das heißt
1. Nullstelle 0
2. Nullstelle 0
3. Nulstelle 0
4. Nullstelle 2
Kann man das so machen mit dem Ausklammern , oder ist das falsch ?
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moin pc,
ja klar, ist vollkommen richtig so.
Das ist sogar die "bessere" Version, oftmals teilt man hier durch x (und vergisst dabei fälschlicherweise, dass auch x=0 gelten könnte).
Du kannst aber auch gleich höhere Potenzen von x ausklammern:
[mm] $-x^4 [/mm] + [mm] 2x^3 [/mm] = [mm] -x^3(x-2)$
[/mm]
Hier kannst du dann gleich die beiden Nullstellen ablesen.
Du hast übrigens nur zwei verschiedene Nullstellen, die 0 ist ja immer die gleiche Nullstelle, also brauchst du sie nicht mehrfach zu zählen.
lg
Schadow
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Alles klar , vielen Dank für die Kontrolle , kommen wir nun zum zweiten Teil der Aufgabe:
Waagerechte Tangente heißt , m =0
da ja f'(x) = m , gilt , folgt also :
[mm] -4x^{3}+6x^{2} [/mm] = 0 | * (-1)
[mm] 4x^{3} [/mm] - [mm] 6x^{2} [/mm] = 0
[mm] x(4x^{2}-6x) [/mm] = 0
1. Punkt : 0 , ( für x = 0 , wird der ganze Ausdruck in der Klammer auch null)
2. Punkt , mit der Lösungsformel :
[mm] x_2 [/mm] = 1,5
[mm] x_3 [/mm] = 0
heißt also :
f(0) = 0 0 => [mm] P_1(0|0) [/mm]
f(1,5) = 1,6875 => [mm] P_2(1,5|1,6875) [/mm]
Die Vorgehensweise ist richtig , oder ?
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Auch hier kannst du problemlos mehrere x auf einmal ausklammern; und ggf. auch die 4.
Also:
[mm] $-4x^3 [/mm] + [mm] 6x^2 [/mm] = [mm] -4x^2(x [/mm] - 1,5)$
Dann kannst du auch hier die Nullstellen direkt ablesen, brauchst also garkeine Lösungsformel.
Davon abgesehen ist dein Vorgehen natürlich nicht falsch; nur vielleicht noch ein wenig umständlich.
MfG
Schadowmaster
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Alles klar , danke für die Hilfe , die b) habe ich schon gelöst und jetzt würde ich gterne mal c) machen , die eine Angabe ist falsch , das ist die korrekte Aufgabenstellung :
In welchem Punkt hat f(x) eine Normale mit der Steigung $ [mm] \bruch{1}{8} [/mm] $ ? Geben Sie die Gleichung der Normalen an
Da ja f'(x) = m gilt , folgt daraus :
f'(x)= [mm] -4x^{3} +2x^{3} [/mm] = [mm] \bruch{1}{8} [/mm] | * (-1)
=> [mm] -4x^{3} +2x^{3} [/mm] = [mm] \bruch{1}{8} [/mm] | * (-1)
=> [mm] 4x^{3} [/mm] - [mm] 2x^{3} [/mm] = - [mm] \bruch{1}{8}
[/mm]
[mm] 4x^{3} [/mm] - [mm] 2x^{3}+ \bruch{1}{8} [/mm] = 0 | * 8
=> [mm] 32x^{3} [/mm] - [mm] 16x^{3} [/mm] + 1 = 0
x [mm] (32x^{2} [/mm] - [mm] 16x^{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{x}) [/mm] = 0
Der erste Punkt ist wieder bekannt ; 0
Wie mache ich das jetzt mit 1/x , ich will den Ausdruck in der Klammer mit der Lösungsformel lösen..
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Setz mal x=0 in deine Ausgangsgleichung ein, das wird nix.^^
Du kannst hier x nicht so einfach ausklammern, da dann eben 1/x in der Klammer stehen würde.
Davon abgesehen muss wohl eine deiner beiden dreien in der Potenz eine zwei sein. ;)
Dann soll [mm] $\frac{1}{8}$ [/mm] auch nicht die Steigung der Tangenten sondern die der Normalen sein.
Weißt du welcher Zusammenhang zwischen deren Steigungen besteht?
Wenn du das hast und die richtige Formel aufstellst wird dir wohl (so lange du kein Lösungsverfahren für kubische Gleichungen kennst) nichts anderes übrig bleiben als eine Nullstelle zu raten und dann eine Polynomdivision zu machen.
Als Tipp:
Es gibt eine Nullstelle aus der Menge [mm] $\{-2,-1,0,1,2\}$.
[/mm]
lg
Schadow
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Hallo pc_dr,
> In welchem Punkt hat f(x) eine Normale mit der Steigung
> [mm]\bruch{1}{8}[/mm] ? Geben Sie die Gleichung der Normalen an
>
> Da ja f'(x) = m gilt ,
Nein, das ist die Steigung der Tangenten - darauf hat ja schon Schadowmaster hingewiesen.
> folgt daraus :
> f'(x)= [mm]-4x^{3} +2x^{3}[/mm] = [mm]\bruch{1}{8}[/mm] | * (-1)
Du wirst die Ableitung auch für die Normale brauchen.
Sie lautet aber nicht [mm] -4x^3+2x^3 [/mm] (was man außerdem zusammenfassen könnte).
In einem früheren Post hattest Du sie doch schon richtig bestimmt.
> => [mm]-4x^{3} +2x^{3}[/mm] = [mm]\bruch{1}{8}[/mm] | * (-1)
>
> => [mm]4x^{3}[/mm] - [mm]2x^{3}[/mm] = - [mm]\bruch{1}{8}[/mm]
> [mm]4x^{3}[/mm] - [mm]2x^{3}+ \bruch{1}{8}[/mm] = 0 | * 8
>
> => [mm]32x^{3}[/mm] - [mm]16x^{3}[/mm] + 1 = 0
>
> x [mm](32x^{2}[/mm] - [mm]16x^{2}[/mm] + [mm]\bruch{1}{x})[/mm] = 0
>
> Der erste Punkt ist wieder bekannt ; 0
>
> Wie mache ich das jetzt mit 1/x , ich will den Ausdruck in
> der Klammer mit der Lösungsformel lösen..
Wenn Du dafür eine einfache Lösungsformel kennst oder findest, stell sie doch bitte hier ein. Seit fast fünfhundert Jahren suchen Menschen danach, und einfacher als von Gerolamo Cardano gefunden scheint es nicht zu gehen. Schau mal ![[]](/images/popup.gif) hier.
Grüße
reverend
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