Schnittpunkte Gerade->Parabel < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:14 So 21.11.2004 | | Autor: | Lehtal |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe die folgende Aufgabenstellung bekommen: Eine Parabel (f(x) = 0,5x² - x - 2) und eine Gerade (g(x)=3x+1) schneiden sich.
a) Bestimme die Koordinaten der Schnittpunkte
b) Berechne die Nullstellen der Parabel
c) Bestimme die Koordinaten des Scheitelpunktes der Parabel
und gib die Funktionsgleichung der Parabel in Scheitepunktform an
nun meine Fragen dazu:
- Ist die nachfolgende Lösung richitg?
- Wie bestimme ich die Scheitelpunktform
- Wie forme ich eine Scheitelpunktform in eine Parabel um
a) f(x) = g(x)
[mm] \Rightarrow \bruch{1}{2}x² [/mm] - x - 2 = 3x + 1
[mm] \gdw \bruch{1}{2}x²- [/mm] 4x - 1 = 0
[mm] \gdw [/mm] x² - 8x - 2 = 0
p-q Formel:
[mm] \Rightarrow [/mm] x = 4 + [mm] \wurzel{(-4)² -2} \vee [/mm] x = 4 - [mm] \wurzel{(-4)² -2}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] xs1 [mm] \approx [/mm] 7,74 [mm] \vee [/mm] xs2 [mm] \approx [/mm] 0,26
ys1 = f(xs1) = f(7,75) [mm] \approx [/mm] 24,22
ys2 = f(xs2) = f(0,26) [mm] \approx [/mm] 1,72
Schnittpunkt1 (xs1| ys1) = (7,74|24,22)
Schnittpunkt2 (xs2| ys2) = (0,26|1,72)
b) Für Nullstellen: f(x)=0
[mm] \Rightarrow \bruch{1}{2}x² [/mm] - x - 2 = 0
[mm] \gdw [/mm] x² - 2x - 4 = 0
p-q Formel:
x = 1 + [mm] \wurzel{5} \vee [/mm] x = 1 - [mm] \wurzel{5}
[/mm]
x [mm] \approx [/mm] 3,236 [mm] \vee [/mm] x [mm] \approx [/mm] 1,236
[mm] \Rightarrow [/mm] X01 = 3,236
[mm] \Rightarrow [/mm] X02 = 1,236
c) Scheitelpunkt aus Nullstellen
Xs = [mm] \bruch{3,236 + 1,236}{2} \approx [/mm] 2,24
Ys = f(xs) [mm] \approx [/mm] -3,46
S(Xs|Ys) = (2,24|-3,46)
Vielen Dank schonmal im vorraus :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:21 So 21.11.2004 | | Autor: | Fugre |
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Ich habe die folgende Aufgabenstellung bekommen: Eine
> Parabel (f(x) = 0,5x² - x - 2) und eine Gerade (g(x)=3x+1)
> schneiden sich.
>
> a) Bestimme die Koordinaten der Schnittpunkte
> b) Berechne die Nullstellen der Parabel
> c) Bestimme die Koordinaten des Scheitelpunktes der
> Parabel
> und gib die Funktionsgleichung der Parabel in
> Scheitepunktform an
>
> nun meine Fragen dazu:
> - Ist die nachfolgende Lösung richitg?
> - Wie bestimme ich die Scheitelpunktform
> - Wie forme ich eine Scheitelpunktform in eine Parabel
> um
>
> a) f(x) = g(x)
> [mm]\Rightarrow \bruch{1}{2}x²[/mm] - x - 2 = 3x + 1
> [mm]\gdw \bruch{1}{2}x²-[/mm] 4x - 1 = 0
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Hier ist leider ein kleiner Fehler. Du muss 1 subtrahieren und nicht
addieren.
[mm] $x^2-8x-6=0$
[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] x² - 8x - 2 = 0
>
> p-q Formel:
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] x = 4 + [mm]\wurzel{(-4)² -2} \vee[/mm] x = 4 -
> [mm]\wurzel{(-4)² -2}
[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] xs1 [mm]\approx[/mm] 7,74 [mm]\vee[/mm] xs2 [mm]\approx[/mm]
> 0,26
>
> ys1 = f(xs1) = f(7,75) [mm]\approx[/mm] 24,22
> ys2 = f(xs2) = f(0,26) [mm]\approx[/mm] 1,72
>
> Schnittpunkt1 (xs1| ys1) = (7,74|24,22)
> Schnittpunkt2 (xs2| ys2) = (0,26|1,72)
>
$x_(s1)=4+ [mm] \wurzel{22} [/mm] $ und $ x_(s2)=4- [mm] \wurzel{22} [/mm] $
> b) Für Nullstellen: f(x)=0
>
> [mm]\Rightarrow \bruch{1}{2}x²[/mm] - x - 2 = 0
> [mm]\gdw[/mm] x² - 2x - 4 = 0
>
> p-q Formel:
>
> x = 1 + [mm]\wurzel{5} \vee[/mm] x = 1 - [mm]\wurzel{5}
[/mm]
> x [mm]\approx[/mm] 3,236 [mm]\vee[/mm] x [mm]\approx[/mm] 1,236
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] X01 = 3,236
> [mm]\Rightarrow[/mm] X02 = 1,236
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> c) Scheitelpunkt aus Nullstellen
>
> Xs = [mm]\bruch{3,236 + 1,236}{2} \approx[/mm] 2,24
> Ys = f(xs) [mm]\approx[/mm] -3,46
>
> S(Xs|Ys) = (2,24|-3,46)
Vorzeichenfehler! -1,236
Wenn du mit den groben Näherungen arbeiten sollst ist das ok, aber warum rechnest du
nicht mit den genauen Werten?
Sieht dann auch viel schöner aus 
$ [mm] x_s= \bruch{(1+ \wurzel{5} )+(1- \wurzel{5}) }{2} [/mm] = 1 $
[Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Vielen Dank schonmal im vorraus :)
>
Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte. Sollte etwas unklar bleiben, so frag bitte nach.
Liebe Grüße
Fugre
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:28 So 21.11.2004 | | Autor: | Lehtal |
> - Wie bestimme ich die Scheitelpunktform
> - Wie forme ich eine Scheitelpunktform in eine Parabel
Die Fragen wären dann noch offen :)
Flüchtigkeitsfehler passieren mir leider viel zu oft ;/ ist ziemlich ärgerlich...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:54 So 21.11.2004 | | Autor: | Fugre |
> > - Wie bestimme ich die Scheitelpunktform
> > - Wie forme ich eine Scheitelpunktform in eine Parabel
>
>
> Die Fragen wären dann noch offen :)
>
> Flüchtigkeitsfehler passieren mir leider viel zu oft ;/ ist
> ziemlich ärgerlich...
>
Hallo,
naja dann machen wir das noch gerade.
Scheitelpunktsform lautet wie folgt: $ [mm] f(x)=a(x+b)^2+c [/mm] $
Und da soll unsere Funktion nun rein, also los.
$ [mm] f(x)=0,5x^2-x-2 [/mm] $ |0,5 vorklammern
$ [mm] f(x)=0,5(x^2-2x-4) [/mm] $ | in der Klammer +1 -1 rechnen => binomische Formel
$ [mm] f(x)=0,5(x^2-2x+1-5) [/mm] $ | [mm] $x^2-2x+1$ [/mm] zu $ [mm] (x-1)^2 [/mm] $ umformen
$ [mm] f(x)=0,5((x-1)^2-5) [/mm] $ |-5 ausklammern
$ [mm] f(x)=0,5(x-1)^2-2,5 [/mm] $
Und siehe da, deine Scheitelpunktsform ist da.
Wichtig ist immer ein Binom zu bauen, dann ist es ganz einfach.
Zusammenhänge sind auch offensichtlich $ [mm] x_s=-b [/mm] $ und $ [mm] y_s=c$ [/mm]
Wenn du sonst noch Informationen zur Scheitelpunktsform oder ähnlichem suchst, dann guck
doch einfach mal bei  Scheitelpunktsform nach.
Liebe Grüße
Fugre
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