Schnittpunkt zweier Geraden < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:24 Do 26.05.2011 | | Autor: | Paivren |
Meine zweite und hoffentlich letzte Frage heute:
Ich habe zwei Geraden im 3D-Raum:
g1: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ -1 \\ -3} [/mm] + r * [mm] \vektor{1 \\ -3 \\ -2}
[/mm]
g2: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{4 \\ -7 \\ 1} [/mm] + s * [mm] \vektor{-3 \\ 9 \\ -6}
[/mm]
Nun setze ich sie gleich und stelle das Gleichungssystem in Matrizenform auf:
[mm] \pmat{ 1 & 3 & 2 \\ -3 & -9 & -6 \\ 2 & 6 & 4 }
[/mm]
Nach dem Gauß-Verfahren umgeformt:
[mm] \pmat{ 1 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Jetzt ist der Rang der Koeffizientenmatrix = Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix, also ist das System lösbar.
Da es aber zwei Unbekannte gibt, gibt es unendlich viele Lösungen.
r=2-3s
mit s [mm] \in \IR
[/mm]
Heißt das jetzt, dass die Geraden unendlich viele gemeinsame Punkte haben, also quasi beide ein und dieselbe sind ?__?
Oder hab ich mich verrechnet ~~?
mfG!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:55 Do 26.05.2011 | | Autor: | abakus |
> Meine zweite und hoffentlich letzte Frage heute:
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> Ich habe zwei Geraden im 3D-Raum:
> g1: [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{2 \\ -1 \\ -3}[/mm] + r * [mm]\vektor{1 \\ -3 \\ -2}[/mm]
>
> g2: [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{4 \\ -7 \\ 1}[/mm] + s * [mm]\vektor{-3 \\ 9 \\ -6}[/mm]
>
> Nun setze ich sie gleich und stelle das Gleichungssystem in
> Matrizenform auf:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 3 & 2 \\ -3 & -9 & -6 \\ 2 & 6 & 4 }[/mm]
>
> Nach dem Gauß-Verfahren umgeformt:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> Jetzt ist der Rang der Koeffizientenmatrix = Rang der
> erweiterten Koeffizientenmatrix, also ist das System
> lösbar.
> Da es aber zwei Unbekannte gibt, gibt es unendlich viele
> Lösungen.
>
> r=2-3s
> mit s [mm]\in \IR[/mm]
>
> Heißt das jetzt, dass die Geraden unendlich viele
> gemeinsame Punkte haben, also quasi beide ein und dieselbe
> sind ?__?
> Oder hab ich mich verrechnet ~~?
Hallo,
wenn die Geraden unendlich viele Punkte gemeinsam hätten, müssten ihre Richtungsvektoren ein Vielfaches voneinander sein. Das ist aber nicht der Fall. Einige Koordinaten sind das 3-fache, andere das (-3)- fache voneinander. Das passt nicht zusammen. Sicher hast du Vorzeichenfehler in deiner Rechnung.
Gruß Abakus
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> mfG!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:11 Do 26.05.2011 | | Autor: | Paivren |
Oh, ich hab beim Abschreiben einen Fehler gemacht ~~
Die untere Koordinate im oberen Vektor ist nicht 2, sondern -2; dann passts ja!
Danke =)
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