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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:17 So 20.05.2012 | | Autor: | jackyooo |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass:
[mm]\frac{(x-1)e^x}{x^2-3}=sin(x)[/mm]
mindestens eine Lösung im Intervall [-1, 3/2] hat. |
Hey,
ich versuche gerade obrige Aufgabe zu rechnen.
Mein Ansatz ist zu Zeigen, bei x=0 der linke Teil der Gleichung einen höheren y-Wert hat, als der rechte Teil der Gleichung und dann bei einem weiteren Wert der Weiter rechts liegt der linke Teil der Gleichung einen kleineren y-Wert hat als der rechte Teil der Gleichung. (hab ich mir quasi analog zum Zwischenwert satz überlegt.
Dazu habe ich x=0 betrachtet:
f(0)_linkeseite = 1/3
f(0)_rechteseite=sin(0)=0
Nur wie gehe ich jetzt weiter vor? Ich kann ja ohne Taschenrechner keine Numerischen Werte einsetzen. Wenn ich die Funktion nicht bis 1,5 sondern 1,6 zeigen müsste, wäre das kein Problem. Dann würde ich einfach x=pi/2 einsetzen und dann hätte ich durch meine Vorüberlegung gezeigt, dass es die Nullstelle gibt.
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Hallo,
im Prinzip gehst du richtig vor, man benötigt jedoch keinen TR. An den beiden Stellen (also [mm] x_u=-1 [/mm] und [mm] x_o=3/2) [/mm] haben die beiden Terme unterschiedliche Vorzeichen. Das würde ja auf den ersten Blick alles klar machen. Doch Achtung: welcher Satz wird hier angewendet, und welche Eigenschaft muss dazu gegeben sein? Ich möchte mal als Hinweis noch daran erinnern, dass die linke Seite, als Funktion aufgefasst, zwei Polstellen besitzt. Du solltest von daher noch argumentieren, weshalb diese Polstellen hier kein Problem darstellen.
Und wie gesagt, ich würde mich auf die UNtersuchung der beiden Intervallränder beschränken.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:25 Mo 21.05.2012 | | Autor: | jackyooo |
Super, danke für deine Antwort.
Ich bin jetzt über den Mittelwertsatz gegangen und habe damit quasi den Schnittpunkt bewiesen. Aber um den Mittelwertsatz anzuwenden, muss ich ja eine Stetigkeit zeigen.
Dass sin(x) stetig ist, kann man als gegeben hinnehmen, aber wie mache ich das mit dem linken Teil der Gleichung? Der ist ja nicht stetig an der stelle [mm] x=\wurzel{3}
[/mm]
Wie gehe ich da jetzt vor?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:42 Mo 21.05.2012 | | Autor: | barsch |
Hallo jackyoo!
Wenn x eine Lösung von
[mm] \frac{(x-1)e^x}{x^2-3}=sin(x) [/mm] ist, so löst x auch
[mm] \frac{(x-1)e^x}{x^2-3}-sin(x)=0 [/mm] . Klar, wir haben nur umgestellt.
Jetzt definiere [mm]f(x)=\frac{(x-1)e^x}{x^2-3}-sin(x)[/mm].
> Super, danke für deine Antwort.
>
> Ich bin jetzt über den Mittelwertsatz gegangen und habe
> damit quasi den Schnittpunkt bewiesen. Aber um den
> Mittelwertsatz anzuwenden, muss ich ja eine Stetigkeit
> zeigen.
Du bist über den "Mittelwertsatz gegangen" und hast "quasi"...
Ich denke, du meinst nicht den Mittelwertsatz. Das wäre nicht korrekt.
Gemeint ist der Satz, der in etwa so lautet: Sei [mm]f:[a,b]\to\IR[/mm] eine stetige Funktion mit f(a)>0 und f(b)<0 (bzw. f(a)<0 und f(b)>0), dann existiert (mind.) ein [mm]c\in\left [ a,b \right ][/mm] mit f(c)=0.
Jetzt merkst du vielleicht auch, warum ich die eigentliche Gleichung umgestellt und als f definiert habe. Also, wie heißt denn nun der Satz?
Was ist in deinem Fall a und b?
> Dass sin(x) stetig ist, kann man als gegeben hinnehmen,
> aber wie mache ich das mit dem linken Teil der Gleichung?
> Der ist ja nicht stetig an der stelle [mm]x=\wurzel{3}[/mm]
> Wie gehe ich da jetzt vor?
Ein Problem ist [mm]x=\wurzel{3}[/mm]. Aber warum "juckt" uns die Stelle [mm]x=\wurzel{3}[/mm] überhaupt nicht?
Mit dem Wissen, versuche dich mal am Beweis.
Gruß
barsch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:32 Mo 21.05.2012 | | Autor: | jackyooo |
Weil Wurzel 3 außerhalb des betrachteten Intervalles liegt und ich nur die Stetigkeit innerhalb des betrachteten Intervalls zeigen muss. Jippie :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:43 Mo 21.05.2012 | | Autor: | barsch |
> Weil Wurzel 3 außerhalb des betrachteten Intervalles liegt
> und ich nur die Stetigkeit innerhalb des betrachteten
> Intervalls zeigen muss. Jippie :)
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
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