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| Aufgabe | [mm] f(x)=1/8*x*(x-4)^2
[/mm]
Gib die Koordinaten eines Punktes an, der nicht auf f liegt und von dem aus sich drei Tangenten an f legen lassen.
Gib die drei Tangenten an. |
Hi Leute!
Ich sitze schon länger an dieser Aufgabe komme aber auf keinen grünen Zweig.
Also bisher hab ich mir überlegt dass:
1. Sich alle 3 Tangenten in einem Punkt schneiden müssen, also an einem Punkt (X,Y) t1(X)=t2(X)=t3(X) gelten muss.
2. Die Tangenten am Berührpunkt die selben Korrdinaten wie die Ursprngsfunktion haben muss also t(x)=f(x)
3. Die Tangenten am Berührpunkt die selbe Steigung wie die Ursprungsfunktion haben müssen, also t'(x)=f'(x)
Leider kommt dannach schon nicht mehr weiter. Ich denke dass ich es wohl mit einem Gleichungssystem lösen muss, komme aber leider nicht auf den richtigen Ansatz.
Vielen Dank für Eure Hilfe schonmal im Vorraus!
mfg
Beatwolle
P.S.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Beatwolle, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
das ist keine ganz leichte Aufgabe, zumal es nicht möglich ist, nur einen einzigen Punkt zu bestimmen, da die Angabe auf unendlich viele Punkte, aber nicht auf jeden beliebigen zutrifft.
> [mm]f(x)=1/8*x*(x-4)^2[/mm]
>
> Gib die Koordinaten eines Punktes an, der nicht auf f liegt
> und von dem aus sich drei Tangenten an f legen lassen.
> Gib die drei Tangenten an.
Mal vorab: eine Skizze empfiehlt sich, oder zumindest die Überlegung, wie der Graph der Funktion aussieht. Es handelt sich um ein Polynom dritten Grades mit einer Nullstelle in x=0 und einer doppelten Nullstelle in x=4; dort liegt zugleich ein lokales Minimum. Zwischen 0 und 4 muss also ein Maximum liegen (leicht zu finden: x=4/3).
> Ich sitze schon länger an dieser Aufgabe komme aber auf
> keinen grünen Zweig.
>
> Also bisher hab ich mir überlegt dass:
>
> 1. Sich alle 3 Tangenten in einem Punkt schneiden müssen,
> also an einem Punkt (X,Y) t1(X)=t2(X)=t3(X) gelten muss.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> 2. Die Tangenten am Berührpunkt die selben Korrdinaten wie
> die Ursprngsfunktion haben muss also t(x)=f(x)
> 3. Die Tangenten am Berührpunkt die selbe Steigung wie die
> Ursprungsfunktion haben müssen, also t'(x)=f'(x)
> Leider kommt dannach schon nicht mehr weiter. Ich denke
> dass ich es wohl mit einem Gleichungssystem lösen muss,
> komme aber leider nicht auf den richtigen Ansatz.
Ich sehe da kein einfaches Gleichungssystem. Es müsste ja die beiden Koordinaten des gemeinsamen Punkts sowie der drei Berührpunkte beinhalten, also mindestens 8 Variablen. Die lassen sich dann leicht auf fünf reduzieren, weil die y-Werte der Berührpunkte ja einfach die entsprechenden Funktionswerte sind, aber man hat dann kein lineares Gleichungssystem mehr. Das ist unangenehm.
Ebenso, wenn man stattdessen mit den Steigungen arbeitet. Da die erste Ableitung der Funktion quadratisch ist, hat man wieder kein lineares Gleichungssystem.
Es scheint mir klüger, anhand des Graphen (bzw. des Funktionsverlaufs) zu überlegen, wo ein solcher Punkt denn liegen könnte. Mir fallen da vor allem zwei Bereiche ein, in denen man ihn platzieren können müsste, es genügt aber, einen davon zu beschreiben.
Der Punkt liege ein wenig oberhalb des Funktionsgraphen bei einem x<4/3, also noch vor dem Maximum. Man kann dann eine Gerade durch den Punkt zeichnen, die die Funktion erst bei einem x>4 genau einmal schneidet. Wenn ich eine solche Gerade nach rechts drehe, wird sie irgendwann die Funktion berühren, ebenso, wenn ich sie nach links drehe. Wenn ich sie aber dann noch weiter nach links drehe, wird sie die Funktion irgendwann in der Umgebung ihres Minimums berühren.
Ein solcher Punkt wäre z.B. (0,5;1).
Jetzt ist es leichter, die drei Tangentengleichungen aufzustellen. Eigentlich brauchst Du sogar nur eine - und die wird drei Lösungen haben.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:56 Di 11.10.2011 | | Autor: | abakus |
> Hallo Beatwolle,
>
> das ist keine ganz leichte Aufgabe, zumal es nicht möglich
> ist, nur einen einzigen Punkt zu bestimmen, da die Angabe
> auf unendlich viele Punkte, aber nicht auf jeden beliebigen
> zutrifft.
>
> > [mm]f(x)=1/8*x*(x-4)^2[/mm]
> >
> > Gib die Koordinaten eines Punktes an, der nicht auf f liegt
> > und von dem aus sich drei Tangenten an f legen lassen.
> > Gib die drei Tangenten an.
>
> Mal vorab: eine Skizze empfiehlt sich, oder zumindest die
> Überlegung, wie der Graph der Funktion aussieht. Es
> handelt sich um ein Polynom dritten Grades mit einer
> Nullstelle in x=0 und einer doppelten Nullstelle in x=4;
> dort liegt zugleich ein lokales Minimum. Zwischen 0 und 4
> muss also ein Maximum liegen (leicht zu finden: x=4/3).
>
> > Ich sitze schon länger an dieser Aufgabe komme aber auf
> > keinen grünen Zweig.
> >
> > Also bisher hab ich mir überlegt dass:
> >
> > 1. Sich alle 3 Tangenten in einem Punkt schneiden müssen,
> > also an einem Punkt (X,Y) t1(X)=t2(X)=t3(X) gelten muss.
>
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> > 2. Die Tangenten am Berührpunkt die selben Korrdinaten wie
> > die Ursprngsfunktion haben muss also t(x)=f(x)
>
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> > 3. Die Tangenten am Berührpunkt die selbe Steigung wie die
> > Ursprungsfunktion haben müssen, also t'(x)=f'(x)
>
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> > Leider kommt dannach schon nicht mehr weiter. Ich denke
> > dass ich es wohl mit einem Gleichungssystem lösen muss,
> > komme aber leider nicht auf den richtigen Ansatz.
>
> Ich sehe da kein einfaches Gleichungssystem. Es müsste ja
> die beiden Koordinaten des gemeinsamen Punkts sowie der
> drei Berührpunkte beinhalten, also mindestens 8 Variablen.
> Die lassen sich dann leicht auf fünf reduzieren, weil die
> y-Werte der Berührpunkte ja einfach die entsprechenden
> Funktionswerte sind, aber man hat dann kein lineares
> Gleichungssystem mehr. Das ist unangenehm.
>
> Ebenso, wenn man stattdessen mit den Steigungen arbeitet.
> Da die erste Ableitung der Funktion quadratisch ist, hat
> man wieder kein lineares Gleichungssystem.
>
> Es scheint mir klüger, anhand des Graphen (bzw. des
> Funktionsverlaufs) zu überlegen, wo ein solcher Punkt denn
> liegen könnte. Mir fallen da vor allem zwei Bereiche ein,
> in denen man ihn platzieren können müsste, es genügt
> aber, einen davon zu beschreiben.
>
> Der Punkt liege ein wenig oberhalb des Funktionsgraphen bei
> einem x<4/3, also noch vor dem Maximum. Man kann dann eine
> Gerade durch den Punkt zeichnen, die die Funktion erst bei
> einem x>4 genau einmal schneidet. Wenn ich eine solche
> Gerade nach rechts drehe, wird sie irgendwann die Funktion
> berühren, ebenso, wenn ich sie nach links drehe. Wenn ich
> sie aber dann noch weiter nach links drehe, wird sie die
> Funktion irgendwann in der Umgebung ihres Minimums
> berühren.
>
> Ein solcher Punkt wäre z.B. (0,5;1).
>
> Jetzt ist es leichter, die drei Tangentengleichungen
> aufzustellen. Eigentlich brauchst Du sogar nur eine - und
> die wird drei Lösungen haben.
>
> Grüße
> reverend
>
Noch einfacher: Der Graph berührt die x-Achse, also könnte man sich einen Punkt der x-Achse suchen (z.B. (-1|0) ) und von diesem Punkte aus die Tangenten suchen. Eine ist die x-Achse selbst, nun braucht du noch die beiden anderen.
Gruß Abakus
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Hi reverend!
Danke für deine schnelle Antwort!
Ich habe mir gleich mal die Funktion plotten lassen und mir deine Übelegungen eingezeichnet.
So weit, so gut.
Bin jetzt wie folgt vorgegangen:
Angaben:
[mm] f(x)=1/8*x*(x-4)^2
[/mm]
[mm] f'(x)=3/8*x^2-2x+2
[/mm]
g(x)=mx+b
P=(0,5;1)
Bedingungen:
1. Bei Berührpunkt gilt f(x)=g(x)
2. Bei Berührpunkt gilt f'(x)=g'(x)
3. Punkt P muss auf T liegen
sprich:
1. [mm] 1/8x^3-x^2+2x=mx+b
[/mm]
2. [mm] 3/8x^2-2x+2=m
[/mm]
3. 1=0,5*m+b
2. in 3. einsetzen und nach b auflösen ergibt:
[mm] b=-3/16x^2+x
[/mm]
das in 1. eingesetzt ergibt:
[mm] 1/8x^3-x^2+2x=3/8x^3-29/16x^2+3x
[/mm]
=> Jeder Term enthält (mindestens) ein x
=> durch x teilen
=> Polynom 2. Grades
=> Nur 2 Lösungen für x
Problem: es werden 3 Lösungen für x benötigt!
Hat jemand eine Idee woran das liegen könnte?
mfg Beatwolle
P.S. hab das 2 mal nachgerechnet (hoffe ich hab keinen Bockmist gemacht :))
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Hallo
eingestzt bekommst du
[mm] \bruch{1}{8}x^{3}-x^{2}+2x=(\bruch{3}{8}x^{2}-2x+2)*x+1-\bruch{1}{2}(\bruch{3}{8}x^{2}-2x+2)
[/mm]
[mm] \bruch{1}{8}x^{3}-x^{2}+2x=\bruch{3}{8}x^{3}-2x^{2}+2x+1-\bruch{3}{16}x^{2}+x-1
[/mm]
fasse jetzt zusammen (überprüfe [mm] -\bruch{29}{16}x^{2}, [/mm] du bekommst [mm] -\bruch{35}{16}x^{2})
[/mm]
Steffi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:41 Di 11.10.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
statt durch x zu dividieren solltest du es ausklammern! und ein produkt ist 0 wenn einer der Faktoren 0 ist!
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