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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:19 Sa 05.02.2011 | | Autor: | Tilo42 |
| Aufgabe | In einem Teich werden zwei Algenkolonien ausgesetzt. Zu Beginn bedeckt Kolonie Alpha 300 [mm] cm^2 [/mm] und Kolonie Beta 800 [mm] cm^2 [/mm] der Wasseroberfläche. Alpha vermehrt sich um 60% po Tag und Beta um 20% pro Tag.
a) Nach welcher Zeit sind die Bestände gleich stark.
b) Wie lange dauert es näherungsweise, bis der 100 [mm] m^2 [/mm] große Teich völlig bedeckt ist? Welchen Prozentanteil bedeckt dann Kolonie Alpha? |
a) f(x) = [mm] 300*1,6^x [/mm] = g(x)= [mm] 800*1,2^x [/mm]
8/3 = [mm] 4/3^x
[/mm]
lg(8/3) = lg(4/3)*x
x= 3,41
b) [mm] 0,03*1,6^x [/mm] + [mm] 0,08*1,2^x [/mm] = 100
So und hier liegt das Problem. In der Aufgabe steht näherungsweise bestimmen, also wird dies mathematisch für mich glaube ich nicht eindeutig zu bestimmen sein. aber wie soll ich sonst vorgehen? einfach einsetzen von zahlen oder wäre ein näherungsverfahren angebrachter, wie z.b das Newtonsche-Näherungsverfahren, was nett wäre wenn mir das einer nochmal mit 2 funktionen kurz erklären könnte.
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Hallo Tilo42,
> In einem Teich werden zwei Algenkolonien ausgesetzt. Zu
> Beginn bedeckt Kolonie Alpha 300 [mm]cm^2[/mm] und Kolonie Beta 800
> [mm]cm^2[/mm] der Wasseroberfläche. Alpha vermehrt sich um 60% po
> Tag und Beta um 20% pro Tag.
>
> a) Nach welcher Zeit sind die Bestände gleich stark.
> b) Wie lange dauert es näherungsweise, bis der 100 [mm]m^2[/mm]
> große Teich völlig bedeckt ist? Welchen Prozentanteil
> bedeckt dann Kolonie Alpha?
> a) f(x) = [mm]300*1,6^x[/mm] = g(x)= [mm]800*1,2^x[/mm]
>
> 8/3 = [mm]4/3^x[/mm]
>
> lg(8/3) = lg(4/3)*x
>
> x= 3,41
>
> b) [mm]0,03*1,6^x[/mm] + [mm]0,08*1,2^x[/mm] = 100
Hier muss es doch heißen:
[mm]0,03*1,6^{x}+ 0,08*1,2^{x} = \blue{1}[/mm]
>
> So und hier liegt das Problem. In der Aufgabe steht
> näherungsweise bestimmen, also wird dies mathematisch für
> mich glaube ich nicht eindeutig zu bestimmen sein. aber wie
Die Lösung x ist schon eindeutig.
> soll ich sonst vorgehen? einfach einsetzen von zahlen oder
> wäre ein näherungsverfahren angebrachter, wie z.b das
> Newtonsche-Näherungsverfahren, was nett wäre wenn mir das
> einer nochmal mit 2 funktionen kurz erklären könnte.
>
Hier kannst Du zur näherungsweisen Bestimmung von x
das Newton-Verfahren verwenden. wobei der Startwert in
der Nähe von x liegen soll.
Im Grunde suchst Du eine Nullstelle der Funktion
[mm]h\left(x\right)=f\left(x\right)+g\left(x\right)-1=0,03*1,6^{x}+ 0,08*1,2^{x}-1[/mm]
Und jetzt kannst Du darauf das Newtonverfahren los lassen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:22 Sa 05.02.2011 | | Autor: | Tilo42 |
100 müsste stimmen, da [mm] 1m^2 [/mm] = 10.000 [mm] cm^2 [/mm] und wir haben [mm] 100m^2
[/mm]
Als Ergebnis habe ich dann: Es dauert ca. 17,22 Tage und Kolonie Alpha bedeckt dann ca. 98,19% des Teiches.
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Hallo Tilo42,
> 100 müsste stimmen, da [mm]1m^2[/mm] = 10.000 [mm]cm^2[/mm] und wir haben
> [mm]100m^2[/mm]
Stimmt auch.
>
> Als Ergebnis habe ich dann: Es dauert ca. 17,22 Tage und
> Kolonie Alpha bedeckt dann ca. 98,19% des Teiches.
Rechne doch mit dem exakten Wert weiter.
Ich erhalte mit dem exakten Wert:
Kolonie Alpha bedeckt dann ca .98,15 % des Teiches.
Gruss
MathePower
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