Schnittpunkt auf der Spiegelfl < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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- In der Ecke eines großen Museumsraumes wurde für eine Kunstinstallation ein dreieckiger Spiegel eingebaut. Seine Eckpunkte sind A(1/0/0), B(0/1/0) und C(0/0/3).
+ | Aufgabe | | Es wurde ein dreieckiger Spiegel gebaut und der Laser ist im Punkt P(4/0/0,5). Der Schnittpunkt S ist der Lichtstrahl, der vom Punkt P aus gesendet wird und auf E trifft. Begründe, dass S auf der Spiegelfläche liegt. |
- a) Ermittle eine Gleichung für die Ebene E, in der der Spiegel liegt.
- b) Berechne den Flächeninhalt des Spiegels.
- c) Zeige rechnerisch, dass der der Laser im Punkt P(4/0/0,5) nicht in der Ebene liegt.
- d) Berechne den Schnittpunkt S, in dem der Lichtstrahl, der vom Punkt P ausgesendet wird, auf E trifft.
- e) Begründe, dass S auf der Spiegelfläche liegt.
- Hallo!
- Eigentlich ist die Aufgabe gar nicht so schwer, doch ich komme bei der letzten Aufgabe nicht mehr weiter. Wenn ich S mit der Ebene E gleichsetze, zeige ich, dass S in der Ebene liegt. Aber wie zeige oder begründe ich, dass S auf der Spiegelfläche liegt?
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- Ich würde mich über einen Hinweis freuen.
LG
MissParker
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
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LG
MissParker
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Hallo MissParker,
wenn die Aufgabe so vollständig ist, ist Aufgabenteil d ohne weitere Angabe nicht lösbar. Dies könnte die Strahlrichtung des Lasers (dessen Ortsvektor bekannt ist) sein, oder z.B. der Hinweis, dass man den Punkt auf der Spiegelfläche finden soll, wo der Laserstrahl in sich selbst zurückgespiegelt wird (also senkrecht auftrifft).
Solange beides nicht gegeben ist, macht diese Teilaufgabe keinerlei Sinn.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:23 Mo 11.07.2011 | | Autor: | MissParker |
Entschuldigung! Ich habe offensichtlich einen Satz nicht mit abgetippt.
Der Laser an der seitlichen Wand ist so eingestellt, dass sein Strahl parallel zum Boden schräg au die Spiegelebene E fällt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:27 Mo 11.07.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
> Entschuldigung! Ich habe offensichtlich einen Satz nicht
> mit abgetippt.
Kann passieren, deswegen frage ich ja nach.
> Der Laser an der seitlichen Wand ist so eingestellt, dass
> sein Strahl parallel zum Boden schräg au die Spiegelebene
> E fällt.
Hm. Daraus ist der Punkt aber immer noch nicht zu bestimmen. Wir kennen jetzt die z-Komponente des Richtungsvektors. Sie ist 0. Für die x- und y-Komponente gibt es aber noch einen ganzen Bereich, der möglich ist. Immerhin könnte man noch sagen, dass die x-Komponente negativ sein muss, und für das Verhältnis y/x lässt sich auch eine Grenze angeben.
Nur lösen kann man die Aufgabe so nicht.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:41 Mo 11.07.2011 | | Autor: | MissParker |
Hilft dir vielleicht der Schnittpunkt weiter? Den hatte ich in der Aufgabe davor berechnet. S(1/3 / 1/2 / 1/2)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:29 Mo 11.07.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn durch irgendeinen Zusatz, wie senkrecht, du d gelöst hast, willst du wissen, ob der gefundene Punkt in dem Dreieck liegt. da er schon in der Ebene liegt, mach dir ein ebenes Bild.
gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:44 Mo 11.07.2011 | | Autor: | MissParker |
Also einen Satz habe ich vorhin ausversehen übersprungen:
Der Laser an der seitlichen Wand ist so eingestellt, dass sein Strahl parallel zum Boden schräg au die Spiegelebene E fällt.
Der Schnittpunkz lautet S( 1/3 / 1/2 / 1/2)
Ich habe mir das Ganze auch schon gezeichnet, allerdings hilft mir das auch nicht weiter. Ich habe schon überprüft, ob der Punkt eventuell der Dreiecksschwerpunkt ist, ist er aber nicht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:30 Mo 11.07.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
in welchem Oktanten liegt denn dein Spiegelstück der Ebene, und nur der Teil der Ebene? Wenn du also schon weisst, dass der Punkt auf der Ebene liegt , musst du nur noch fesstellen, ob er im richtigen oktanten liegt, also nur die Vorzeichen.
Um allgemein festzustellen ob ein Punkt in einem Dreieckliegt braucht es viel mehr Aufwand!
aber hier ists ganz einfach!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:04 Di 12.07.2011 | | Autor: | MissParker |
Der Punkt liegt im ersten Oktanten, allerdings weiß ich immer noch nicht, worauf du hinaus möchtest. Sorry, du gibst dir hier voll die Mühe und ich versteh es immer noch nicht.
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Hossa :)
Mal sehen, ob ich das richtig verstanden habe. Wir haben die 3 Eckpunkte des dreieckigen Spiegels gegeben:
[mm] $A(1,0,0)\quad;\quad B(0,1,0)\quad;\quad [/mm] C(0,0,3)$
Für die Gleichung der Spiegelebene E benötigen wir zunächst einen Vektor [mm] $\vec [/mm] s$, der auf dem Spiegel senkrecht steht:
[mm] $\vec s=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\left(\vec b-\vec a\right)\times\left(\vec c-\vec a\right)=\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\0\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ 3\\ 1\end{array}\right)$
[/mm]
Jeder Punkt X in der Ebene hat einen Richtungsvektor [mm] $\vec [/mm] x$, der multipliziert mit Vektor [mm] $\vec [/mm] s$ stets denselben Wert c hat. Die Ebenengleichung lautet daher allgemein:
[mm] $E:\quad\vec s\cdot\vec [/mm] x-c=0$
Dies muss insbesondere für den Punkt A gelten, so dass wir mit seiner Hilfe die Konstante c berechnen können:
[mm] $c=\vec s\cdot\vec a=\left(\begin{array}{c}3\\ 3\\ 1\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)=3$
[/mm]
Damit ist Aufgabenteil a) gelöst:
[mm] $E:\quad3x_1+3x_2+x_3-3=0$
[/mm]
Das Kreuzprodukt zweier Vektoren steht senkrecht auf der aufgespannten Fläche und seine Länge ist gleich der Fläche des aufgespannten Rechtecks. Da ein Rechteck ein halbes Dreieck ist, gilt für den Flächeninhalt F des dreieckigen Spiegels:
[mm] $F=\frac{1}{2}\,\left|\vec s\right|=\frac{1}{2}\sqrt{3^2+3^2+1^2}=\frac{1}{2}\sqrt{19}$
[/mm]
Der Laser hat die Koordinaten P(4/0/0,5). Diese eingesetzt in die Ebenengleichung ergeben:
[mm] $3\cdot4+3\cdot0+0.5-3=9.5\not=0$
[/mm]
Also liegt der Punkt P nicht auf der Ebene E des Spiegels.
Zur Bestimmung des Schnittpunktes S fehlt bei deinen Angaben noch die konkrete Richtung in der vom Punkt P aus auf den Spiegel "geschossen" wird. Daher übernehme ich für S das Ergebnis aus deinen Kommentaren:
[mm] $S\left(\frac{1}{3}\,,\,\frac{1}{2}\,,\,\frac{1}{2}\right)$
[/mm]
Die Begründung, dass S innerhalb der Spiegelebene liegt ist leicht, indem man die Koordinaten einfach in die Parametergleichung einsetzt:
[mm] $3\cdot\frac{1}{3}+3\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-3=0$
[/mm]
Zur Begründung, dass S auf der dreieckigen Spiegelfläche liegt, reicht es zu zeigen, dass [mm] $\overrightarrow{AS}$ [/mm] projeziert auf [mm] $\overrightarrow{AB}$ [/mm] kürzer als [mm] $\overline{AB}$ [/mm] ist UND gleichzeitig [mm] $\overrightarrow{AS}$ [/mm] projeziert auf [mm] $\overrightarrow{AC}$ [/mm] kürzer als [mm] $\overline{AC}$ [/mm] ist:
[mm] $0<\overrightarrow{AS}\cdot\frac{\overrightarrow{AB}}{\overline{AB}}<\overline{AB}\quad;\quad0<\overrightarrow{AS}\cdot\frac{\overrightarrow{AC}}{\overline{AC}}<\overline{AC}\quad\Longrightarrow\quad0<\overrightarrow{AS}\cdot\overrightarrow{AB}<\overline{AB}^2\quad;\quad0<\overrightarrow{AS}\cdot\overrightarrow{AC}<\overline{AC}^2$
[/mm]
(Man kann auch [mm] $\le$ [/mm] sagen, wenn man den Rand zur Spiegelfläche zählen möchte). Wie oben schon berechnet gilt:
[mm] $\overrightarrow{AB}=\left(\vec b-\vec a\right)=\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\0\end{array}\right)\quad;\quad \overrightarrow{AC}=\left(\vec c-\vec a\right)=\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\3\end{array}\right)\quad;\quad\overrightarrow{AS}=\left(\vec s-\vec a\right)=\left(\begin{array}{c}-2/3\\1/2\\1/2\end{array}\right)\quad;\quad\overline{AB}=\sqrt2\quad;\quad\overline{AC}=\sqrt{10}$
[/mm]
Einsetzen ergibt:
[mm] $\overrightarrow{AS}\cdot\overrightarrow{AB}=\left(\begin{array}{c}-2/3\\1/2\\1/2\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}-1\\1\\0\end{array}\right)=\frac{7}{6}<2\quad;\quad\overrightarrow{AS}\cdot\overrightarrow{AC}=\left(\begin{array}{c}-2/3\\1/2\\1/2\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}-1\\0\\3\end{array}\right)=\frac{13}{6}<10$
[/mm]
Viele Grüße
Hasenfuss
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 23:25 Mo 11.07.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die Idee mit den pProjektionen ist einfach falsch. zeichne die mal einen punkt ausserhalb, senkrecht über einer Ecke und nah dran!
Gruss leduart
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| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 15:35 Di 12.07.2011 | | Autor: | Hasenfuss |
Hossa :)
Stimmt, du hast Recht. Danke für den Hinweis. Ich habe auch nochmal auf dem Problem rumgedacht und gemerkt, dass das Quatsch war. War wohl doch zu spät gestern.
Ich weiß nicht, ob ich das hier im Forum jetzt gerade richtig mache, ich antworte, dass die Korrektur korrekt ist. Aber eine Korrektur hast du ja eigentlich nicht angegeben, du hast nur gesagt, dass meine Idee falsch ist. Daher schreibe ich einfach auf, was ich mir gerade neu ausgedacht habe...
Gegeben sei ein Dreieck mit den Eckpunken A, B, C und es soll geprüft werden, ob ein Punkt X innerhalb dieses Dreiecks liegt. Dazu sei schon angenommen, dass der Punkt X in derselben Ebene wie das Dreieck liegt. Dann kann der Vektor [mm] $\overrightarrow{AX}$ [/mm] als Linearkombination von [mm] $\overrightarrow{AB}$ [/mm] und [mm] $\overrightarrow{AC}$ [/mm] geschrieben werden:
[mm] $\overrightarrow{AX}=p\cdot\overrightarrow{AB}+q\cdot\overrightarrow{AC}$
[/mm]
Soll der Punkt X innerhalb des Dreiecks liegen, dürfen weder p noch q negativ sein, weil man sonst "am Punkt A nach außen laufen würde". Daher muss für einen Punkt X innerhalb des Dreiecks gelten:
[mm] $p\ge0\quad\land\quad q\ge [/mm] 0$
Nun gelte für die Parameter p und q folgende Beziehung:
$p+q=1$
Damit kann die obige Gleichung für [mm] $\overrightarrow{AX}$ [/mm] wie folgt umgeschrieben werden:
[mm] $\overrightarrow{AX}=p\left(\vec b-\vec a\right)+(1-p)\left(\vec c-\vec a\right)$
[/mm]
[mm] $\overrightarrow{AX}=p\vec b-p\vec a+\vec c-\vec a-p\vec c+p\vec [/mm] a$
[mm] $\overrightarrow{AX}=\vec c-\vec a+p\left(\vec b-\vec c\right)$
[/mm]
[mm] $\overrightarrow{AX}=\overrightarrow{AC}+p\cdot\overrightarrow{CB}$
[/mm]
Für [mm] $p\in[0;1]$ [/mm] liegt der Punkt X daher genau auf der Seite BC des Dreiecks.
Damit wurde gezeigt, dass für $p+q=1$ der "schlechteste" Fall eintritt und der Punkt X auf der Seite BC des Dreiecks liegt. Ist $p+q>1$ läuft der Punkt X an der Seite BC aus dem Dreieck heraus. Für $p+q<1$ läuft der Punkt X in das Dreieck hinein.
Also muss für einen Punkt X innerhalb eines Dreiecks ABC gelten:
[mm] $\overrightarrow{AX}=p\cdot\overrightarrow{AB}+q\cdot\overrightarrow{AC}\quad\mbox{mit}\quad p,q\ge0\quad\land\quad p+q\le [/mm] 1$
Dies kann man nun auf die ursprüngliche Frage anwenden, indem man das Gleichungssystem aufstellt (jede Komponente eine Gleichung), das Gleichungssystem nach p und q auflöst, um schließlich die obige Bedingung zu prüfen. Die Freude möchte ich der ursprünglichen Fragestellerin aber nicht nehmen :)
Viele Grüße
Hasenfuß
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:47 Di 12.07.2011 | | Autor: | MissParker |
Von meiner seite aus, hat sich die Frage erledigt. Danke für eure Hilfe!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:07 Di 12.07.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
> Von meiner seite aus, hat sich die Frage erledigt. Danke
> für eure Hilfe!
Gut, dann setze ich sie mal auf inaktiv.
Dennoch bin ich nicht so recht zufrieden. Wenn Lösungsteile vom Himmel fallen, denke ich irgendwie nicht an Manna, sondern an Hagelschlag. (Geen hagelslag, hoor!)
Woher die Strahlrichtung kommt (bzw. bestimmt wird), erschließt sich mir nach wie vor nicht.
Grüße
reverend
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