Schnittpunkt Exponentialfunktion < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Wie kann ich ermitteln ob folgende Funktionen einen gemeinsamen Schnittpunkt haben?
f(x) = [mm] 3*1,8^x
[/mm]
g(x) = 700+500*x
Zeichnerisch konnte ich bereits die Lösung ermitteln (müsste etwa x= -1,3974 sein), ich weiß jedoch nicht, wie ich das Problem rechnerisch lösen kann.
Vielen Dank im Voraus :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:14 Sa 16.10.2004 | | Autor: | andreas |
hi
die beiden funktionen müssten zwei schnittpunkte haben. diese sind laut maple bei [m] x_1 \stackrel{\cdot}{=} -1.397360976, \; x_2 \stackrel{\cdot}{=} 13.27360134 [/m].
um zu zeigen, dass diese beiden schnittpunkte existieren genügt es aufgrund der stetigkeit von $f$ und $g$ zu zeigen, dass [m] g(-2) < f(-2) \; \wedge \; g(-1) > f(-1) [/m] bzw. [m] g(13) > f(13) \; \wedge \; g(14) < f(14) [/m] (was durch einfaches einsetzen geht), dann existiert nach dem zwischenwertsatz nämlich in jedem dieser intervalle jeweils ein schnittpunkt. die $x$-werte der schnittpunkte mit elementaren mitteln auszurechen ist - glaube ich - nicht möglich, dazu muss man näherungsverfahren verwenden. um zu zeiegen, dass dies die einzigen schnittpunkte sind könnte man unter umständen monotonie-argumente verwenden.
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:37 Sa 16.10.2004 | | Autor: | Nessy2004 |
Schon einmal vielen Dank für deine Idee. Vielleicht habe ich jedoch schon beim Ansatz einen Fehler gemacht. In der Aufgabenstellung geht es um das Algenwachstum in einem Baggersee. Der Baggersee hat eine anfängliche Größe von 700m² und wächst wöchentlich um 500m². also f(x) =700+500*x oder? Die Algen bedecken zu Beginn eine Fläche von 3m² und wachsen wöchentlich um 80%, woraus ich die Exponentialfunktion g(x)= [mm] 3*1,8^x [/mm] gefolgert habe. Nun soll bestimmt werden, ob es einen Zeitpunkt gibt, bei dem die Algen die gesamte Fläche des Sees bedecken. Ich würde hierfür die beiden Funktionen gleichsetzen. Oder habe ich bereits hier einen Fehler gemacht?
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