Schnittp. von y=ln(x) & y=1/x < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:07 Do 27.01.2011 | | Autor: | jooo |
| Aufgabe | a) Weisen Sie nach, dass die Graphen der Funktionen y = ln x und y= [mm] \bruch{1}{x}
[/mm]
genau einen Schnittpunkt besitzen.
b) Zeigen Sie: die x-Koordinate dieses Schnittpunktes ist Nullstelle der
Funktion y = x ln x − 1. |
Hallo
Wenn ich die beiden Funktionen gleichsetze komme ich wohl (ohne Taschenrechner) nicht auf den Schnittpunkt! oder doch ?
Das einzige was mir gerade einfällt ist
dass ln(x) sich im 1 und 4 Quadranten befindet sommit muß ich wohl y=1/x für x>0 untersuchen oder? Aber wie?
Gruß Jooo
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Hallo jooo,
> a) Weisen Sie nach, dass die Graphen der Funktionen y = ln
> x und y= [mm]\bruch{1}{x}[/mm]
> genau einen Schnittpunkt besitzen.
>
>
> b) Zeigen Sie: die x-Koordinate dieses Schnittpunktes ist
> Nullstelle der
> Funktion y = x ln x − 1.
> Hallo
>
> Wenn ich die beiden Funktionen gleichsetze komme ich wohl
> (ohne Taschenrechner) nicht auf den Schnittpunkt! oder doch?
Nein, das ist nur numerisch zu lösen. Aber auch hier ist ja wieder gar keine Lösung gefragt!
> Das einzige was mir gerade einfällt ist
> dass ln(x) sich im 1 und 4 Quadranten befindet sommit muß
> ich wohl y=1/x für x>0 untersuchen oder? Aber wie?
Wenn die Graphen einen Schnittpunkt haben, dann hat die Differenzfunktion an dieser Stelle eine Nullstelle. Die Aufgabe ist also äquivalent zu dieser:
Zeigen Sie, dass [mm] y=\ln{x}-\bruch{1}{x} [/mm] genau eine Nullstelle hat.
Der Definitionsbereich ist (wegen des Logarithmus) ja [mm] \IR^+.
[/mm]
Für [mm] x\to{0} [/mm] wird man noch gesondert nachschauen müssen, was da eigentlich passiert.
Ansonsten genügt wieder erstmal der Zwischenwertsatz, um überhaupt eine Nullstelle nachzuweisen, und ansonsten ist eine Betrachtung des Monotonieverhaltens angesagt. Damit erledigt man auch gleich die Frage bei der Annäherung [mm] x\to{0} [/mm] mit.
Tja, und Aufgabe b) ist dann auch nicht mehr schwierig; eigentlich hat man dann ja schon alles erledigt.
Viel Erfolg!
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:39 Do 27.01.2011 | | Autor: | jooo |
Danke für den Hinweis:“ Wenn die Graphen einen Schnittpunkt haben, dann hat die Differenzfunktion an dieser Stelle eine Nullstelle“
Soweit ist das klar, was für Werte nehme ich jedoch für den Zwischenwertsatz.
Für x=0 ist der ln(x) ja nicht definiert der Grenzwert für x-->0 ist ja [mm] -\infty [/mm]
Nehme ich dann das Intervall [mm] (0,\infty] [/mm] bzw. [mm] (0,\infty)
[/mm]
Gruß jooo
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Hallo jooo!
Einfach mal etwas probieren und spielen mit den x-Werten.
Ein Kandidat wäre z.B. [mm] $x_1 [/mm] \ = \ 1$ .
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:53 Do 27.01.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
gut sind ja immer solche Werte, die man wenigstens überschlägig im Kopf berechnen kann. Hier ist der Logarithmus ja der sperrige Anteil der Funktion.
Man würde also wahrscheinlich erstmal solche x probieren und großzügig abschätzen (nicht zuuu großzügig, natürlich)
[mm] x=e^{-1}\quad\Rightarrow\ln{x}=-1,\ \bruch{1}{x}>2
[/mm]
[mm] x=1\quad\Rightarrow\ln{x}=0,\ \bruch{1}{x}=1
[/mm]
[mm] x=e\quad\Rightarrow\ln{x}=1,\ \bruch{1}{x}<\bruch{1}{2}
[/mm]
Am bequemsten ist sichtlich x=1, also gerade Roadrunners Vorschlag. 
Grüße
reverend
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