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| Aufgabe | <br>
Ebenen: [mm] <\vektor{r_1 \\ r_2 \\ r_3},\vektor{1 \\ -1 \\ 1}>=-5[/mm] [mm] <\vektor{r_1 \\ r_2 \\ r_3},\vektor{2 \\ -1 \\ 3}>=-6[/mm] [mm] Punkt x = \vektor{-3 \\ 3 \\ 1}[/mm]
a) Zeigen Sie, dass p auf beiden Ebenen liegt.
b) Bestimmen Sie die Schnittmenge der Ebenen. Verwenden Sie den
Gauß-Algorithmus und stellen Sie das Ergebnis in Form einer
Geradengleichung dar.
c) Geben Sie für beide Ebenen eine Matrixdarstellung an.
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Hallo,
könnte jemand bitte über meine Lösung gucken und mir an entscheidender Stelle einen Tipp geben?
Meine Lösungen:
a) Es ist einfaches Einsetzen und schauen ob es stimmt:
Es muss erfüllt sein: [mm] <\vektor{-3 \\ 3 \\1},\vektor{1 \\ -1 \\ 1}>=-5[/mm] UND [mm] <\vektor{-3 \\ 3 \\1},\vektor{2 \\ -1 \\ 3}>=-6[/mm]
Somit liegt der Punkt auf beiden Ebenen!
b) Meine Überlegungen:
[mm]\pmat{ 1 & -3 & 1 \\ 2 & -1 & 3 } * \vektor{r_1\\ r_2 \\ r_3} = \vektor{-5 \\ -6} [/mm]
Als Koefizentenmatrix:
[mm]\left( \begin {array}{ccc|c} 1&-1&1&-5\\ 2&-1&3&-6\end {array} \right) [/mm]
jetzt den Gauß-Algorithmus... Rechnung spar ich mir mal.
[mm]\left( \begin {array}{ccc|c} 1&0&2&-1\\ 0&1&1&4\end {array} \right) [/mm]
Eine Geradengleichung hat die Form: [mm]r= r_1+ t * u[/mm]
Also: [mm]r= \vektor{-1 \\ 4}+ t * u[/mm]
Hier jetzt meine Frage: Wie komme ich an u und stimmt die Idee mit der Geradengleichung?
Diese Frage habe ich in keinem anderen Forum gestellt.
Gruß Redenwirmaldarüber
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Hallo,
du bist durchgehend richtig vorgegangen. Den Richtungsvektor findest du, indem du dir noch klarmachst, dass deine Gauß-Matrix ein LGS ist. Wähle etwa r3=t, und du hast den Richtungsvektor. Er besteht jeweils aus dem von t abhängigen Summanden in den einzelnen Komponenten der Lösungsmenge.
EDIT: ich habe etwas übersehen: die Geradengleichung muss natürlich dreidimensional sein!
Gruß, Diophant
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Danke für die Antwort!
Ok dann müsste die Geradengleichung [mm]r = \vektor{-1 \\ 4} + t * \vektor{-2 \\ -1}[/mm] lauten, oder?
Gruß Redenwirmaldarueber
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Hallo,
> Danke für die Antwort!
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> Ok dann müsste die Geradengleichung [mm]r = \vektor{-1 \\ 4} + t * \vektor{-2 \\ -1}[/mm] lauten,
> oder?
Öhm, wir sind doch im [mm] \IR^3 [/mm] unterwegs? Also da ist dir sicherlich als erstes mal die [mm] x_3-Koordinate [/mm] flöten gegangen. Aber ganz nebenbei scheint dein Richtungsvektor auch noch einen Vortzeichenfehler zu enthalten. Zur Kontrolle (eine von vielen mögliche Lösungen):
[mm]\vec{x}= \vektor{-1 \\ 4 \\ 0}+t* \vektor{-2 \\ 1 \\ 1}[/mm]
Gruß, Diophant
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> Öhm, wir sind doch im [mm]\IR^3[/mm] unterwegs? Also da ist dir
> sicherlich als erstes mal die [mm]x_3-Koordinate[/mm] flöten
> gegangen. Aber ganz nebenbei scheint dein Richtungsvektor
> auch noch einen Vortzeichenfehler zu enthalten. Zur
> Kontrolle (eine von vielen mögliche Lösungen):
>
> [mm]\vec{x}= \vektor{-1 \\ 4 \\ 0}+t* \vektor{-2 \\ 1 \\ 1}[/mm]
>
>
> Gruß, Diophant
Hallo,
ok die Beantwortung der Frage ist schon etwas länger her aber so richtig verstanden habe ich es immernocht nicht.
Also ich bin mit Gauß soweit gekommen:
[mm]\left( \begin {array}{ccc|c} 1&0&2&-1\\ 0&1&1&4\end {array} \right)[/mm]
Aber wie komme ich jetzt dort weiter? Also zu dem Ergebniss von Diophant (Danke).
Geradengleichung: [mm]r= r_1+ t \cdot{} u [/mm]
>Wähle etwa r3=t, und du hast den Richtungsvektor.
[mm]r_3 = t
[/mm]
Und dann?
?????
Für r1:
[mm]r_1 + 2t = -1[/mm]
[mm]r_1 = -1-2t[/mm]
Für r2:
[mm]r_2 + t = 4[/mm]
[mm]r_2 = 4-t[/mm]
Somit:???
[mm] \vektor{r_1 \\ r_2 \\ r_3} = \vektor{-1-2t \\ 4-t \\ t}[/mm]
Aber wie geht es jetzt weiter?
Ich bin momentan mehr als verwirrt! ^^
Gruß Redenwirmaldarueber
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:37 Sa 29.06.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
da steht dich die Geradengl. wenn du es nur auftrennst in r=p+t*v
Gruss leduart
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