Schnittgerade zweier Ebenen < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:46 So 23.08.2009 | | Autor: | chico6 |
| Aufgabe | E1: [mm] \vec{x}= \vektor{3 \\ 8 \\ 5} [/mm] + [mm] \lambda \vektor{0 \\ 4 \\ 0} [/mm] + [mm] \mu \vektor{ 1 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
E2: [mm] \vec{x}= \vektor{2 \\ 7 \\ 3} [/mm] + [mm] \lambda \vektor{0 \\ 6 \\ 0} [/mm] + [mm] \mu \vektor{ 0 \\ 0 \\ -5} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Die Frage unseres Lehrers: Wie rechnet man die Schnittgerade aus?
Das komische für mich (bin kein Mathegenie), wir haben schon etwas ausgerechnet. Für mich nur leider keine große Hilfe... Habe bisher nichts gefunden im Internet was mir weiterhilft. Vor allen Dingen meinte unser Lehrer noch, dass mü und lambda bei E1 und E2 nicht gleich sein müssen... Hmm..
Naja ich Danke im Vorraus für jede freiwillige Hilfe!
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Hallo!
Also wir haben das in der Schule immer so gemacht:
Du musst die beiden Ebenengleichungen gleich setzen (die beiden Teile auf der rechten Seite von [mm] \vec{x} [/mm] ).
Also [mm] E_1=E_2 [/mm] .
Genauso, wie wenn du den Schnitt zweier Geraden berechnen willst, dann setzt du die ja auch gleich.
Dann bringe die [mm] \lambda-Vektoren [/mm] und die [mm] \mu-Vektoren [/mm] (die Richtungsvektoren) auf die linke Seite, und die Vektoren ohne Koeffizient (die Stützvektoren) auf die rechte Seite.
Dann schreib es so auf, dass du daraus drei Gleichungen machst, also die erste Gleichung ist dann quasi die erste Zeile der Vektoren usw.
Damit erhälst du ein lineares Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 2 Variablen, das du lösen musst.
Ich hoffe, das funktioniert so, ich hab das jetzt nicht nachgerechnet 
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:49 So 23.08.2009 | | Autor: | chico6 |
| Aufgabe | | [mm] \vektor{2 \\ -1\bruch{4}{25} \\ 4} [/mm] |
Das ist mein Ergebnis für die Schnittgerade... Kann das wirklich sein?? Bin immer skeptisch wie gesagt bin nicht gerade ein Genie in Sachen Mathe.
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Hallo chico6,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> [mm]\vektor{2 \\ -1\bruch{4}{25} \\ 4}[/mm]
> Das ist mein Ergebnis
> für die Schnittgerade... Kann das wirklich sein?? Bin
> immer skeptisch wie gesagt bin nicht gerade ein Genie in
> Sachen Mathe.
Das ist nur ein Punkt der Schnittgeraden.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:02 Mo 24.08.2009 | | Autor: | chico6 |
Vielen Dank für die Hilfe, hab jetzt das richtige Ergebnis! Habe mit Mitschülern verglichen.
Dankeschön.
Gruß chico6.
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> E1: [mm]\vec{x}= \vektor{3 \\ 8 \\ 5}+\lambda \vektor{0 \\ 4 \\ 0}+\mu \vektor{ 1 \\ 1 \\ 1}[/mm]
>
> E2: [mm]\vec{x}= \vektor{2 \\ 7 \\ 3}+\lambda \vektor{0 \\ 6 \\ 0}+\mu \vektor{ 0 \\ 0 \\ -5}[/mm]
> Wie rechnet man die Schnittgerade aus?
Hallo chico6,
es gibt verschiedene Lösungsmöglichkeiten.
Du kannst z.B. zuerst aus beiden Ebenengleichungen
die Parameter [mm] \lambda [/mm] und [mm] \mu [/mm] eliminieren.
Anschliessend suchst du zwei Punkte, welche beide
Koordinatengleichungen erfüllen. Dann stellst du die
Gleichung der Geraden durch diese beiden Punkte auf.
Falls dir aber z.B. das vektorielle Produkt von Vek-
toren bekannt ist, gäbe es einen einfacheren Weg.
Nebenbemerkung: Du kannst in deinen Formeln
mit weniger [mm] und [/mm] auskommen !
LG Al-Chw.
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> E1: [mm]\vec{x}= \vektor{3 \\ 8 \\ 5}+\lambda \vektor{0 \\ 4 \\ 0}+\mu \vektor{ 1 \\ 1 \\ 1}[/mm]
>
> E2: [mm]\vec{x}= \vektor{2 \\ 7 \\ 3}+\lambda \vektor{0 \\ 6 \\ 0}+\mu \vektor{ 0 \\ 0 \\ -5}[/mm]
> Wie rechnet man die Schnittgerade aus?
Für die Gleichsetzungsmethode musst du die
Parameter der einen Gleichung umtaufen
(siehe die Bemerkung des Lehrers).
Ferner kann man in diesem Beispiel drei der
vorkommenden Spannvektoren kürzen.
Dies führt dann auf einfachere Rechnungen.
E1: [mm] $\vec{x}= \vektor{3 \\ 8 \\ 5}+\lambda \vektor{0 \\ 1 \\ 0}+\mu \vektor{ 1 \\ 1 \\ 1}$
[/mm]
E2: [mm] $\vec{x}= \vektor{2 \\ 7 \\ 3} +\sigma \vektor{0 \\ 1 \\ 0} +\tau \vektor{ 0 \\ 0 \\ 1}$
[/mm]
Gleichsetzen dieser Vektorterme führt auf drei
Gleichungen in den vier Unbekannten [mm] \lambda [/mm] , [mm] \mu [/mm] , [mm] \sigma [/mm] , [mm] \tau [/mm] .
Aus der ersten davon geht sofort hervor, dass
[mm] \mu=-1 [/mm] sein muss.
Für die Auflösung des verbleibenden Systems
hat man eine Wahlfreiheit. Um die Schnittgerade
darstellen zu können, sind ja zwei ihrer Punkte
notwendig. Versuche es also z.B. einmal mit
der Wahl [mm] \lambda=0 [/mm] und dann nochmals mit [mm] \lambda=1 [/mm] .
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:07 Di 25.08.2009 | | Autor: | Pacapear |
Oh ja, stimmt ja, dass mit dem Umtaufen der Parameter hab ich völlig vergessen ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]")
Ich hoffe, du hattest dadurch nicht zuviel zusätzliche Arbeit.
LG Nadine
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