Schnittgerade von zwei Ebenen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] E_{1}=\vektor{1 \\ 1\\ 0} *\left(x-\vektor{0 \\ 0\\ 2}\right)
[/mm]
[mm] E_{2}=\vektor{0 \\ 1\\ 1} [/mm] * [mm] \left(x-\vektor{0 \\ -1\\ 0}\right)
[/mm]
Welche Schnittgerade g haben [mm] E_{1} [/mm] und [mm] E_{2}? [/mm] |
Hallo,
ich stehe hier vor einem großen Problem. Ich weiss zwar ungefähr, wie man die Schnittgerade zweier Ebenen in der r,s-Form bestimmt, aber nicht in der Hesseschen-Normalform. Könnte mir da vielleicht jemand einen Ansatz geben, was ich zu tun habe?
Danke.
Gruß
Volker
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:14 Mo 22.01.2007 | | Autor: | magic1980 |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt. Hab mich beim Copy & Paste etwas vertan. Sorry.
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> [mm]E_{1}=\vektor{1 \\ 1\\ 0} *\left(x-\vektor{0 \\ 0\\ 2}\right)[/mm]
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> [mm]E_{2}=\vektor{0 \\ 1\\ 1}[/mm] * [mm]\left(x-\vektor{0 \\ -1\\ 0}\right)[/mm]
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> Welche Schnittgerade g haben [mm]E_{1}[/mm] und [mm]E_{2}?[/mm]
> Hallo,
>
> ich stehe hier vor einem großen Problem. Ich weiss zwar
> ungefähr, wie man die Schnittgerade zweier Ebenen in der
> r,s-Form bestimmt, aber nicht in der Hesseschen-Normalform.
> Könnte mir da vielleicht jemand einen Ansatz geben, was ich
> zu tun habe?
Hallo,
so weit ich weiß, kann man das nicht machen, ohne zumindest eine Normalform umzuwandeln.
Was Du "direkt" bekommen kannst, ist der Richtungsvektor der Schnittgerade: das Kreuzprodukt der beiden Normalenvektoren. Dann fehlt Dir aber immer noch der gemeinsame Punkt.
Ich würde entweder eine der Ebenen in Parameterform umwandeln und in die andere einsetzen, oder das zugehörige lineare Gleichungssystem lösen:
[mm] 0=\vektor{1 \\ 1\\ 0} *(\vec{x}-\vektor{0 \\ 0\\ 2}) [/mm] und
[mm] 0=\vektor{0 \\ 1\\ 1} *(\vec{x}-\vektor{0 \\ -1\\ 0}
[/mm]
ist gleichwertig mit
0=x+y und
0=y+z-1
Gruß v. Angela
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Also wir sollen das nicht umwandeln, sondern in der Form belassen.
Mein Prof meinte nur, dass wir zwei Gleichung mit drei unbekannten lösen sollen. So wie das auch Angela vorgeschlagen hat.
Aber wie sieht so eine Gleichung denn aus?
Hab da voll die Denkblockade.
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Hi, magic,
> Also wir sollen das nicht umwandeln, sondern in der Form
> belassen.
> Mein Prof meinte nur, dass wir zwei Gleichung mit drei
> unbekannten lösen sollen. So wie das auch Angela
> vorgeschlagen hat.
Angela hat in der zweiten Ebenengleichung einen Vorzeichenfehler.
Richtig wäre:
(I) x + y = 0
(II) y + z + 1 = 0
Das Gleichungssystem ist UNTERbestimmt:
2 Gleichungen, aber 3 Unbekannte.
Also hast Du einen Freiheitsgrad, kannst z.B.
y = [mm] \lambda [/mm]
setzen.
Dann kriegst Du mit (I) x = [mm] -\lambda
[/mm]
und mit (II) z = -1 - [mm] \lambda
[/mm]
Das schreibe nun in vektorieller Form und wandle es zur üblichen Geradengleichung um:
[mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] = [mm] \vektor{-\lambda \\ \lambda \\ -1 - \lambda}
[/mm]
oder:
[mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ -1} [/mm] + [mm] \lambda*\vektor{-1 \\ 1 \\ -1}
[/mm]
Fertig!
mfG!
Zwerglein
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Kann sein, dass es auch anders geht, aber da mir ein funktionsfähiger Weg immer gereicht hat, kenne ich keinen anderen. 
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