Schnittgerade berechnen < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:16 Mo 11.06.2007 | | Autor: | DarCo |
| Aufgabe | Gegeben sind 2Ebenen und 1Gerade
E1 = (0/0/2)+ r(-10/1/2)+ s(4/8/-5)
E2 = (2/2/1)+ k(-1/0/2)+ l(2/0/-4)
g = (3/-4/0)+ t(2/0/3)
Aufgabe 1d) Bestimmen Sie die Schnittgerade von E1 und E2. Wie liegt diese zu g?
Aufgabe 1e) Bestimmen Sie den Abstand der Schnittpunkte von der Schnittgerade |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Meine Idee zur Lösung war, E1 = E2 zu setzten.
So habe ich allerdings 3Gleichungen mit 4Unbekannten... das lässt sich wohl mit einem Laufparameter lösen nur weiß ich nicht wie.
Hätte ich dann eine Lösung weiß ich den Ansatzt nicht um 1e zu berechnen.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:14 Mo 11.06.2007 | | Autor: | Dhana |
Ok, also erstmal zu Aufgabe d)
E1 = (0/0/2)+ r(-10/1/2)+ s(4/8/-5)
E2 = (2/2/1)+ k(-1/0/2)+ l(2/0/-4)
Du hast Recht, gleichsetzen ist ein Lösungsweg und damit erhältst du 3 Gleichungen mit 4 Unbekannten. Diese löst du ganz normal wie du es gelernt hat, nur wirst du diesmal nicht 3 Zahlen herausbekommen sondern Abhängigkeiten. Ich geb mal ein Beispiel an ;)
I) k + l + r + s = 0
II) l + r - s = 2
III) r+2s = 5
So, das wäre jetzt auf Stufenform gebracht, falls ihr sowas hattet, sonst halt das Verfahren nehmen, was ihr benutzt. Jetzt muß man sich einen Parameter wählen, ich nehme mal s und setze s fest als neuen Parameter t.
s := t
Dann folgt aus III)
r + 2t = 5 => r = 5 - 2t
II) l + (5 - 2t) - t = 2 => l = -3 + 3t
I) k + (-3 -3t) + (5 - 2t) + t = 0 => k = -2 + 5t
So, jetzt nehme ich s=t und r=5-2t und setze die beiden t-Terme in die Ebenengleichung an Stelle von r und s ein, fasse zusammen und dann hast du eine Gleichung mit nur t als Parameter. Geht natürlich auch mit k und l, was eben einfacher ist.
Die etwas einfachere Variante, je nachdem wie weit ihr schon seid im Stoff:
Wandle eine der Ebenengleichungen in die Normalenform ein und setze die drei Koordinaten der Parameterform in die Normalenform ein. Dann hast du eine Gleichung mit zwei Parametern, rechnest einen Parameter in Abhängigkeit vom anderen aus und setzt beide wieder in die Parameterform aus, wie oben. Nur halt mit weniger Gleichungen ;)
Auf Wunsch kann ich das auch noch etwas ausformulieren, habe mich nur erstmal auf deinen Ansatz konzentriert.
Zu 1e) Hast du in den Aufgaben a-c) ev. Schnittpunkte berechnet?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:19 Mo 11.06.2007 | | Autor: | DarCo |
| Aufgabe | 1d: Schnittgerade von E1 und E2 und die Lage der Geraden g zu dieser
1e: Abstand der Schnittpunkte von Schnittgerade
1f : E1 und E2 in Komponenten- und normalform umwandeln |
erst mal danke für den Ansatz...
also zu 1e: ja ich hatte die Aufgabe Schnittpunkte zu berechnen, da die Rechnungen E1 = g und E2 = g keine Lösungen ergeben haben (also ich habe keine rausbekommen) habe ich gesagt die stehen parallel zueinander.
und dann nochmal zu 1d: ganz nachvollziehen kann ich das leider noch nicht, da ich Probleme hab es nachzuvollziehen einfach eine Variable umzubenennen und eine Zahl für einzusetzten.
da in Aufgabe 1f die Aufgabe auftaucht E1 und E2 in Komponenten- und Normalform zu bringen, wäre es vielleicht der Idealfall wenn du mir da helfen kannst, ich denke wenn ich 2Normalformen gleichsetzte, dass ich dann weiterkomme.
Vielen Dank bis hierher...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:14 Mo 11.06.2007 | | Autor: | hase-hh |
moin dario,
es wäre für uns hilfreich, wenn du deine lösungsansätze hier ausführlich posten würdest!
du sollst die schnittgerade der beiden ebenen bestimmen.
dazu wäre interessant, wie ihr das genau macht. E1 = E2 und dann über das gleichungssystem mittels einsatzverfahren o.ä. oder über eine matrix, die ihr in dreiecksform bringt.
in jedem fall ist es korrekt, wie mein vorredner das gemacht hat. du kannst einen parameter f r e i wählen, dazu musst du diesen aber nicht unbedingt umbenamsen.
ohne in die aufgabe einzusteigen, erhältst du dann eine schnittgerade der form
h: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{x1 \\ y1 \\ z1} [/mm] + v* [mm] \vektor{x2 \\ y2 \\ z2}
[/mm]
und diese gerade musst du nun auf lage bezüglich E1 und E2 untersuchen (zwei teilaufgaben). falls der richtungsvektor von h ein vielfaches oder gleich einem richtungsvektor von E1 bzw. E2 ist, dann sind gerade und E1 / E2 parallel.
jedenfalls ist die lage von g zu E1 und E2 hier nicht gefragt, oder hast du die aufgabe nicht richtig gepostet?
noch ist mir nicht klar, welche punkte hier betrachtet werden sollen, vielleicht ein aufgabenteil der uns bisher nicht vorliegt, oder habe ich da etwas übersehen?
jedenfalls kannst du den abstand zwischen einem punkt und einer gerade leicht berechnen.
was heisst komponentenform? meinst du vielleicht koordinatenform?
umwandlen einer ebene in koordinatenform:
E1 = (0/0/2)+ r(-10/1/2)+ s(4/8/-5)
drei gleichungen:
I. x = 0 + (-10)r + 4s
II. y = 0 + r +8s
III. z = 2 + 2r + (-5)s
diese drei gleichungen formst du so um, dass beide parameter rausfallen => koordinatenform!
I. x = -10r + 4s
II. y = r +8s | *10
III. z = 2 + 2r -5s | *5
x = -10r + 4s
10y = 10r +80s +
--------------------
IV. x +10y = 84s
x = -10r + 4s
5z = 10 +10r -25s +
-----------------------
V. x+5z = 10 -21s
IV. x +10y = 84s
V. x+5z = 10 -21s | *4
x + 10y = 84s
4x + 20z = 40 -84s +
-------------------------
5x +10y +20z = 40
bzw.
x +2y +4z = 8
E1: x +2y +4z -8 =0
gruß
wolfgang
|
|
|
|
