Schnittfläche Ebenen < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:25 Mo 11.01.2010 | | Autor: | BlackSalad |
| Aufgabe | Wie lautet die Schnittfläche der beiden Ebenen:
E1: (5/3/6) + a*(3/-2/2)+ b*(-5/3/-7)
E2: (1/1/3) + c*(4/11/0)+ d*(-1/1/3) |
Hallo,
kann mir jemand nen Tipp geben wie das so genau geht? Ich weiß nicht wie ich anfangen soll.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:32 Mo 11.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> Wie lautet die Schnittfläche der beiden Ebenen:
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> E1: (5/3/6) + a*(3/-2/2)+ b*(-5/3/-7)
> E2: (1/1/3) + c*(4/11/0)+ d*(-1/1/3)
> Hallo,
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> kann mir jemand nen Tipp geben wie das so genau geht? Ich
> weiß nicht wie ich anfangen soll.
Bestimme die Lösungsmenge des Gleichungssystems
$(5/3/6) + a*(3/-2/2)+ b*(-5/3/-7)=(1/1/3) + c*(4/11/0)+ d*(-1/1/3)$
FRED
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> Wie lautet die Schnittfläche der beiden Ebenen:
>
> E1: (5/3/6) + a*(3/-2/2)+ b*(-5/3/-7)
> E2: (1/1/3) + c*(4/11/0)+ d*(-1/1/3)
> Hallo,
>
> kann mir jemand nen Tipp geben wie das so genau geht? Ich
> weiß nicht wie ich anfangen soll.
Hallo,
eine Möglichkeit hat Dir Fred ja schon gesagt.
Du kannst aber auch die eine Ebenengleichung in die Normalen- bzw. Koordinatenform umwandeln (Hinweis: Normalenvektor= Kreuzprodukt der Richtungsvektoren),
und dann die Parameterform in die Nomalen bzw. Koordinatenform einsetzen.
Der Vorteil dieser Vorgehensweise: man hat am Ende nur eine einzige Gleichung mit zwei Unbekannten, was vielen Schülern deutlich leichter fällt, als das GS aus drei Gleichunge mit 4 Unbekannten zu lösen - und dann noch zu interpretieren.
Voraussetzung ist natürlich, daß man die verschiedenen Darstellungen der Ebenen ineinander umwandeln kann.
Wenn Du ein wenig Zeit hast, versuche beides, dann merkst Du ja, was Dir leichter fällt.
Gruß v. Angela
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Also ich hab es nach der ersten Methode versucht. Die Ebenen gleichgesetzt. Nun erhalte ich aber leider ein Gleichungssystem mit 4 Variablen aber nu 3 Gleichungen. Kann das denn sein?
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Hallo BlackSalad,
> Also ich hab es nach der ersten Methode versucht. Die
> Ebenen gleichgesetzt. Nun erhalte ich aber leider ein
> Gleichungssystem mit 4 Variablen aber nu 3 Gleichungen.
> Kann das denn sein?
Ja, das ist sogar der wahrscheinlichste Ausgang.
Es gibt im [mm] \IR^3 [/mm] doch nur drei Möglichkeiten:
1) Die Ebenen sind identisch. Dann müsstest Du eine Lösung mit zwei Parametern haben, also z.B. 4 Variable, aber nur 2 unabhängige Gleichungen.
2) Die Ebenen sind parallel zueinander und haben einen Abstand |d|>0. Dann hat Dein Gleichungssystem keine Lösung, z.B. weil sich Gleichungen widersprechen.
3) Die Ebenen schneiden sich in einer Geraden. Dann hast Du eine Lösung mit einem Parameter, also z.B. so wie bei Dir, 4 Variable, aber nur 3 unabhängige Gleichungen.
Ich persönlich finde daher die von Angela vorgeschlagene Vorgehensweise leichter. Da überblickt man auch ohne große Übung, welcher Fall vorliegt.
lg
reverend
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Danke,
ich werde es nachher noch nach Angelikas Vorschlag rechnen. Allerdings wäre ich euch dankbar wenn ihr meine Ergebnis korrigieren würdet:
Ich hab als Gleichungssystem:
-3a+5b+4c-d=4
2a-3b+11c+d=2
-2a+7b+3d=3
und dann bekomme ich ganz komische Lösungen:
a= [mm] 2d-\bruch{-5}{3}
[/mm]
[mm] b=d-\bruch{1}{3}
[/mm]
[mm] c=\bruch{1}{3}
[/mm]
[mm] d=\bruch{1}{3}+b
[/mm]
Stimmt das?
Und wie muss ich nun weiter vorgehen?
Liebe Grüße und Danke!!
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Hallo, Danke für die Korrektur. Sind dann a= [mm] -\bruch{5-6d-8/3}{3} [/mm] ; b= d [mm] +\bruch{1}{3} [/mm] richtig?
Liebe Grüße
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Hallo BlackSalad,
> Hallo, Danke für die Korrektur. Sind dann a=
> [mm]-\bruch{5-6d-8/3}{3}[/mm] ; b= d [mm]+\bruch{1}{3}[/mm] richtig? ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
ich habe: [mm] a=-2d-\frac13 [/mm] , [mm] b=\frac13-d [/mm] , [mm] c=\frac13
[/mm]
Gruß informix
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
