Schnitt zweier UVR < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:13 Di 05.01.2010 | | Autor: | Rudy |
| Aufgabe | Quelle: http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/inhalt/interaufg/interaufg994/
Gegeben sind die Vektoren
a=(1,1,0,0), b=(0,1,1,0), c=(0,0,1,1) d=(1,0,0,1)
Bestimmen Sie eine Basis $ B$ des Durchschnitts der beiden durch die Vektoren a, b , (mit unterstrich) c, d aufgespannten linearen Räume.
Lösung:
Der oberste nicht verschwindende Eintrag ist auf $ 1$ zu normieren. |
Also ich dachte eigentlich, dass es nur ein Schnitt der 2 Ebenen ist und ich bekomm nach dem Lösen des LGS folgende lsg:
[mm] \vektor{-1 \\ 1 \\ -1 \\ 1}
[/mm]
aber ich hab mit dem Unterstrich unter c, und d nix anfangen können. Liegts evtl. daran, dass er meine Lösung nicht annimmt ?
Oder seht ihr grade einen mega Denkfehler?
Dank euch schonmal =)
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> Quelle:
> http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/inhalt/interaufg/interaufg994/
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> Gegeben sind die Vektoren
>
> a=(1,1,0,0), b=(0,1,1,0), c=(0,0,1,1) d=(1,0,0,1)
>
> Bestimmen Sie eine Basis [mm]B[/mm] des Durchschnitts der beiden
> durch die Vektoren a, b , (mit unterstrich) c, d
> aufgespannten linearen Räume.
>
> Lösung:
> Der oberste nicht verschwindende Eintrag ist auf [mm]1[/mm] zu
> normieren.
> Also ich dachte eigentlich, dass es nur ein Schnitt der 2
> Ebenen ist und ich bekomm nach dem Lösen des LGS folgende
> lsg:
> [mm]\vektor{-1 \\ 1 \\ -1 \\ 1}[/mm]
>
> aber ich hab mit dem Unterstrich unter c, und d nix
> anfangen können. Liegts evtl. daran, dass er meine Lösung
> nicht annimmt ?
>
> Oder seht ihr grade einen mega Denkfehler?
Hallo,
zunächst mal hast Du nicht den oberen nicht verschwindenden Eintrag auf 1 normiert, so daß Dir das System sicher schon deshalb "falsch" anzeigen würde.
Das ist aber nur Pippifax, der Megadenkfehler ist ein anderer:
Du hast das Gleichungssystem [mm] r*\vec{a}+s*\vec{b} [/mm] + [mm] t\vec{c}+u*\vec{d}=\vec{0} [/mm] aufgestellt, und dann den Kern bestimmt.
Damit hast Du aber nicht den Vektor, der den Schnittraum aufspannt, sondern Du weißt, daß für [mm] k*\vektor{r\\s\\t\\u}=\vektor{-1\\1\\-1\\1} [/mm] das System gelöst wird.
Also liegen die Vektoren im Schnitt, für welche r=-s ist, dh. die Vektoren des Schnittes haben die Gestalt [mm] r*\vec{a}+s*\vec{b}=-s\vec{a}+s\vec{b}=s*\vektor{-1\\0\\1\\0}.
[/mm]
(Fürs System müßte man einen Basisvektor mit 1 als erten Eintrag wählen.)
Gruß v. Angela
>
> Dank euch schonmal =)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:57 Di 05.01.2010 | | Autor: | Rudy |
Ok, ich hab schonmal ein falsches lgs gelöst merk ich gerade.
ich wollte eigentlich sagen die beiden Ebenen müssen sich schneiden, also gleich sein:
E1 = E2
dann mach ich
E1 - E2 = 0
das ergibt doch das Lgs:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & -1 }
[/mm]
wenn ich das löse, bekomme ich
v = t* [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ -1 \\ 1}
[/mm]
ist das nicht automatisch schon meine Schnittgerade?
Kannst du mir nochmal erklären wie du auf deinen Vektor kamst? der passt, wenn man den *(-1) nimmt.
Danke
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> Ok, ich hab schonmal ein falsches lgs gelöst merk ich
> gerade.
> ich wollte eigentlich sagen die beiden Ebenen müssen sich
> schneiden, also gleich sein:
> E1 = E2
> dann mach ich
> E1 - E2 = 0
>
> das ergibt doch das Lgs:
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & -1 }[/mm]
>
> wenn ich das löse, bekomme ich
> v = t'* [mm]\vektor{1 \\ -1 \\ -1 \\ 1}[/mm]
>
> ist das nicht automatisch schon meine Schnittgerade?
Hallo,
nein.
Du hast jetzt bestimmt, wie die r,s,t,u aussehen müssen, die das Gleichungssystem $ [mm] r\cdot{}\vec{a}+s\cdot{}\vec{b} [/mm] $ = $ [mm] t\vec{c}+u\cdot{}\vec{d} [/mm] $ lösen.
Und mithilfe dieser r,s,t,u können wir nun wissen, wie die Elemente des Schnittes aussehen:
r=t'
s=-t'
t=-t'
u=t'
Im Schnitt liegen also die Vektoren der Gestalt [mm] t'\vec{a}-t'\vec{b}=t'(\vec{a}-\vec{b})
[/mm]
bzw. [mm] -t'\vec{c}+t'\vec{d}=t'(-\vec{c}+\vec{d})
[/mm]
Gruß v. Angela
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> Kannst du mir nochmal erklären wie du auf deinen Vektor
> kamst? der passt, wenn man den *(-1) nimmt.
>
> Danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:10 Di 05.01.2010 | | Autor: | Rudy |
Ahhhhh stimmt =)
Natürlich... da sieht man vor lauter Bäumen den Wald nicht mehr.
Vielen Danke Angela ! Echt super von dir.
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