Schnitt von zwei Ebenen < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:00 Mi 25.04.2007 | | Autor: | Squirl |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie eine Ebene E*, die die X- und die Y-Achse beinhaltet und berechnen Sie danach, an welcher Stelle sich E* und E schneiden. |
Hallo zusammen
Ich habe Probleme beim Lösen dieser Aufgabe.
Ist es richtig, dass die Ebene mit den Achsen (E*) folgende Gleichung hat:
E*: [mm] \vec{x}=\vektor{0 \\ 0\\ 0} [/mm] + [mm] \lambda*\vektor{1 \\ 0\\ 0}+\mu*\vektor{0 \\ 1\\ 0}
[/mm]
Und wenn das richtig ist, dann muss ich die doch mit E gleichsetzen oder nicht? E ist übrigens folgendes:
E: [mm] \vec{x}=\vektor{8 \\ -8\\ 0} [/mm] + [mm] \lambda*\vektor{-3 \\ 5\\ 1}+\mu*\vektor{1 \\ 1\\ 0}
[/mm]
Denn wenn ich die gleichsetze und ein LGS mache, dann erhalte ich imemr unware werte. Kann mir vielleicht jemand helfen. Wäre echt super nett, wenns schnell gehen würde. Bin eben erst nach hause gekommen und brauch die morgen. Tut mir wirklich Leid.
Wenns nicht klappt, dann klappts halt nicht.
Trotzdem danke!
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:17 Mi 25.04.2007 | | Autor: | Leia |
Hallo,
vielleicht könntest du mal dein LGS posten. Dann ist leichter nachzuvollziehen, was du gemacht hast.
Meiner Ansicht nach müsste eine Schnittgerade rauskommen, aber ich hab die Rechnung dazu noch nicht gemacht. Vielleicht ist bei deinem LGS auch nur ein Rechenfehler drin.
Oder die Ebenen sind parallel und du bekommst deshalb keinen Schnitt.
Gruß
Leia
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:27 Mi 25.04.2007 | | Autor: | Squirl |
Hier also mein LGS:
[mm] \pmat{ 4 & -1 & 8 \\ -5 & 0 & -8 \\ -1 & 0 & 0}
[/mm]
(die erste Spalte ist [mm] \lambda, [/mm] die 2. ist [mm] \mu [/mm] und die dritte das Ergebnis)
Wie man in der letzten Zeile sieht müsste [mm] \lambda [/mm] doch 0 sein. In der 2. Zeile passt es dann aber schon nicht.
Muss ich vielleicht ganz anders ansetzen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:35 Mi 25.04.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
das liegt m.E. daran, weil du für beide Ebenen jeweils die selben Parameter wählst!
Aber die Ebenen müssen doch unabhängig voneinander sein, d.h. jede Ebene braucht seine eigenen Parameter!
Wenn du dann mal für z.B. die zweite Ebene anstatt [mm] \mu [/mm] und [mm] \lambda [/mm] andere Parameter wählst, dann hast du drei Gleichungen mit vier Parametern.
D.h. hinterher bleibt ein Paramter über, nachdem du das LGS aufgelöst hast.
Dann bekommste auch so deine Geradengleichung heraus, da du den einen Paramter in Abhängigkeit der anderen darstellen kannst, und diese dann jeweils in eine der Parameterformen einfügen kannst.
Nur mal so nebenbei:
Hattet ihr schon sowas wie die Normalenform oder Koordinatenform?
Dann wäre das ganze nämlich ziemlich einfach;)
Weil dann kannste einfach deine eine Ebene in die Koordinatenform der anderen Ebene einsetzten, und dann auch den einen Parameter durch den anderen ausdrücken, diese zusammenführen, und das ganze dann auf eine Geradengleichung zusammenfassen.
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:53 Mi 25.04.2007 | | Autor: | Squirl |
Ohja du hast recht! Wie konnte ich nur so blöd sein!
Ne also ich wüsste jetzt nicht, dass wir sowas schon hatten. Wäre es dir denn möglich mal die Aufgabe in diesen Formen zu posten? Dann könnte ich mir die mal ansehen. Wäre wirklich nett!
VG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:38 Do 26.04.2007 | | Autor: | hase-hh |
moin,
im prinzip richtig, nur dass du die dreiecksform bilden musst.
ich habe
[mm] \pmat{3 & -1 & 1 & 0 : 8 \\ -5 & -1 & 0 & 0 : -8 \\ -1 & 0 & 0 & 0 : 0}
[/mm]
erstmal umsortiert, damit ich mir nicht den wolf rechne...
[mm] \pmat{-1 & 1 & 0 & -3 : 8 \\ -1 & 0 & 0 & -5 : -8 \\ 0 & 0 & 0 & -1 : 0}
[/mm]
und dann von der II. Zeile die I. abgezogen, schon habe ich die dreiecksform...
[mm] \pmat{-1 & 1 & 0 & -3 : 8 \\ 0 & -1 & 1 & -8 : -16 \\ 0 & 0 & 0 & -1 : 0}
[/mm]
a= 0
-d +c = 16 bzw. d= c-16
-c +b = -8 bzw. b= c -8
**
für [mm] \vektor{8 // -8 // -5} [/mm] wäre a= -5
-d +c -15 = 16 bzw. d= c-31
-c +b +40 = -8 bzw. b= -48 +c
**
diese parameter setzt du jetz in die ebenengleichung(en) ein und erhältst die schnittgerade:
[mm] \vec{s} [/mm] = [mm] \vektor{0\\ 0\\ 0} [/mm] + (-48+c)* [mm] \vektor{1\\ 0\\0} +c*\vektor{0 \\ 1\\0}
[/mm]
[mm] \vec{s} [/mm] = [mm] \vektor{-48\\ 0\\ 0} [/mm] + [mm] c*\vektor{1 \\ 1\\0}
[/mm]
eingesetz in die andere ebene:
[mm] \vec{s} [/mm] = [mm] \vektor{8\\ -8\\ 0} [/mm] + 0* [mm] \vektor{-3\\ 5\\1} +(c-31)*\vektor{1 \\ 1\\0}
[/mm]
[mm] \vec{s} [/mm] = [mm] \vektor{-23\\ -39\\ 0} [/mm] + [mm] c*\vektor{1 \\ 1\\0}
[/mm]
also scheint hier noch ein kleiner fehler zu stecken... hm.
ok, ich rechne nochmal durch!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:43 Do 26.04.2007 | | Autor: | hase-hh |
ok, nochmal von anfang an. (deine umsortiererei ist etwas wirr)
1. gleichsetzen der beiden ebenen
a [mm] *\vektor{1 \\0 \\0} [/mm] + [mm] b*\vektor{0\\1 \\0} [/mm] = [mm] \vektor{8\\-8 \\0 } [/mm] + c [mm] *\vektor{-3 \\5\\1} [/mm] + [mm] d*\vektor{1\\1 \\0} [/mm]
a [mm] *\vektor{1 \\0 \\0} [/mm] + [mm] b*\vektor{0\\1 \\0} [/mm] + c [mm] *\vektor{3 \\-5\\ -1} [/mm] + [mm] d*\vektor{-1\\-1 \\0} [/mm] = [mm] \vektor{8\\-8 \\0 }
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 3 & -1 :8 \\ 0 & 1 & -5 & -1 :-8 \\ 0 & 0 & -1 & 0 :0}
[/mm]
diese matrix ist bereits in dreiecksform!
-c = 0
b -d = -8 bzw. b= -8 +d
a -d = 8 bzw. 8 +d
ergebnisse einsetzen in eine der beiden ebenengleichungen, ergibt die schnittgerade:
in erste ebene
(8+d)* [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] (-8+d)*\vektor{0\\1 \\0} [/mm] = [mm] \vektor{8\\-8 \\0} [/mm] + [mm] d*\vektor{1 \\ 1\\0}
[/mm]
in zweite ebene (zur kontrolle)
[mm] \vektor{8\\ -8\\0} [/mm] + 0* [mm] \vektor{-3 \\ 5 \\ 1} [/mm] + [mm] d*\vektor{1\\1 \\0} [/mm] = [mm] \vektor{8\\-8 \\0} [/mm] + [mm] d*\vektor{1 \\ 1\\0}
[/mm]
gruß
wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:40 Mi 25.04.2007 | | Autor: | Squirl |
Also ich habe mich dann gerade nochmal an einen Lösungsversuch gesetzt und erhalte nun folgendes:
E*: [mm] \vec{x}=\vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] c*\vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] b*\vektor{0 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
E: [mm] \vec{x}=\vektor{8 \\ -8 \\ 5} [/mm] + [mm] a*\vektor{-3 \\ 5 \\ 1} [/mm] + [mm] b*\vektor{1 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
Nachdem ich alles umgeformt habe erhalte ich folgendes
[mm] a*\vektor{3 \\ -5 \\ -1} [/mm] + [mm] b*\vektor{-1 \\ -1 \\ 0} [/mm] + [mm] c*\vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] b*\vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{8 \\ -8 \\ 5}
[/mm]
Mein LGS sieht dann wie folgt aus
[mm] \pmat{ 3 & -1 & 1 & 0 & 8 \\ -5 & -1 & 0 & 1 & -8 \\ -1 & 0 & 0 & 0 & 5}
[/mm]
(1. Zeile: a, 2. b, 3. c, 4. d, 5. Ergebnis)
Folgende Ergebnisse erhalte ich wenn ich annehme, dass d ein Parameter ist:
a= -5
b= 33+d
c= 56+d
Sollte das richtig sein, was muss ich dann nun genau mit diesen Ergebnissen machen?
Sollte es falsch sein, kann mir dann jemand mal den richtigen Weg aufzeigen?
Danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:47 Do 26.04.2007 | | Autor: | hase-hh |
moin,
jetzt weiss ich allerdings nicht, ob du als aufpunkt der zweiten ebene
[mm] \vektor{8 \\ -8 \\ 0} [/mm] oder [mm] \vektor{8 \\ -8 \\ 5}
[/mm]
meinst???
ich habe mich in meiner obigen antwort für den in deiner frage zuerst genannten [mm] \vektor{8 \\ -8 \\ 0} [/mm] entschieden...
gruß
wolfgang
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