Schnitt von Filtern < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:05 So 25.03.2012 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | | Hallo, ist der Durchschnitt von Filtern auch Filter? |
Ich würde sagen ja, denn die leere Menge ist nicht drin (da sie in keinem der Filter ist, dann auch nicht im Schnitt), die Menge X ist drin, und die anderen Axiome eines Filters sehe ich auch erfüllt...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:30 So 25.03.2012 | | Autor: | cycore |
Wenn du es beweisen kannst stimmt es wohl ;) nein ehrlich:
Wie du sagst, wenn [mm]\mathcal{F}[/mm] und [mm]\mathcal{G}[/mm] Filter auf dem selben Raum [mm]X[/mm]sind, dann gilt natürlich [mm]\emptyset\not\in\mathcal{F}\cap\mathcal{G}[/mm] und [mm]X\in\mathcal{F}\cap\mathcal{G}[/mm]. Weiter ist, wenn [mm]F,F'\in\mathcal{F}\cap\mathcal{G}[/mm] Elemente sind, sowohl [mm]F\cap F'\in\mathcal{F}[/mm] als auch [mm]F\cap F'\in\mathcal{G}[/mm], also wie gefordert [mm]F\cap F'\in\mathcal{F}\cap\mathcal{G}[/mm] und analoge Begründung für das letzte Axiom; für [mm]F\in\mathcal{F}\cap\mathcal{G}[/mm] und [mm]F\subset G\subset X[/mm] ist mit [mm]G\in\mathcal{F}[/mm] und [mm]G\in\mathcal{G}[/mm] auch [mm]G\in\mathcal{F}\cap\mathcal{G}[/mm].
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:18 So 25.03.2012 | | Autor: | dennis2 |
Ist das wirklich i.A. so?
Ich denke nicht !!
Was ist etwa mit dem Schnitt aus Filtern, die jeweils aus einem Punkt bestehen, wobei diese unterschiedlich sind?
Enthält da der Schnitt nicht die leere Menge ??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:47 So 25.03.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo dennis,
> Ist das wirklich i.A. so?
>
> Ich denke nicht !!
>
> Was ist etwa mit dem Schnitt aus Filtern, die jeweils aus
> einem Punkt bestehen, wobei diese unterschiedlich sind?
Was meinst du damit genau für Filter?
Sinn machen würde für [mm] $x,y\in [/mm] X$ mit [mm] $x\not=y$:
[/mm]
[mm] $\mathcal{F}=\{A\subseteq X|x\in A\}$
[/mm]
[mm] $\mathcal{G}=\{A\subseteq X|y\in A\}$
[/mm]
> Enthält da der Schnitt nicht die leere Menge ??
Nein. Es gilt [mm] $\mathcal{F}\cap\mathcal{G}=\{A\subseteq X|x,y\in A\}$.
[/mm]
Du denkst offenbar an die Menge
[mm] $\{A\cap B|A\in\mathcal{F}, B\in\mathcal{G}\}$,
[/mm]
die in der Tat kein Filter ist.
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:58 So 25.03.2012 | | Autor: | dennis2 |
Gibt es denn nicht Filter auf X die aus nur einem Punkt bestehen, also etwa:
[mm] $\mathcal{F}=\left\{x\right\}$
[/mm]
[mm] $\mathcal{G}=\left\{y\right\}$
[/mm]
[mm] x,y\in [/mm] X, [mm] x\neq [/mm] Y
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:02 So 25.03.2012 | | Autor: | cycore |
> Gibt es denn nicht Filter auf X die aus nur einem Punkt
> bestehen, also etwa:
>
> [mm]\mathcal{F}=\left\{x\right\}[/mm]
>
> [mm]\mathcal{G}=\left\{y\right\}[/mm]
>
> [mm]x,y\in[/mm] X, [mm]x\neq[/mm] Y
>
>
Nein! Das sind keine Filter auf X. Es muss ja insbesondere [mm]X\in\mathcal{F}[/mm] sein und mit [mm]\{x\}\in\mathcal{F}[/mm] ist automatisch jede Teilmenge [mm]A[/mm] mit [mm]x\in A\subset X[/mm] in [mm]\mathcal{F}[/mm] enthalten.
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:13 So 25.03.2012 | | Autor: | dennis2 |
Bin gerade ein bisschen verwirrt. 
Wenn [mm] $X=\left\{x\right\}$, [/mm] ist dann nicht [mm] $\mathcal{F}=\left\{x\right\}$ [/mm] ein Filter auf X?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:54 So 25.03.2012 | | Autor: | cycore |
Ich habe der Argumentation von mikexx nach vermutet, dass er den Schnitt der Filter als Mengen meint, also [mm]\mathcal{F}\cap\mathcal{G} = \{F\subset X\mid F\in\mathcal{F} \text{ und } F\in\mathcal{G}\}[/mm], nicht jedoch das woran du denkst.
Dieser (was du vermutlich meintest) Filter der paarweisen Schnitte definiert man glaube ich nur, wenn die beiden Filter einen gemeinsamen Berührungspunkt haben (aber nagelt mich nicht darauf fest). Und auch bei dieser Definition nimmt man wenn mich meine Erinnerung nicht täuscht die Mengen, die aus paarweise verschiedenen Schnitten entstehen und nichtleer (!) sind (+ unter Umständen den davon erzeugten Filter).
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