Schnitt über Einsmengen < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:32 Fr 16.04.2010 | | Autor: | kegel53 |
| Aufgabe | Zeigen Sie:
Der Durchschnitt von abzählbar unendlich vielen Einsmengen ist wieder eine Einsmenge.
(Hinweis: Ein Ereignis A heißt Einsmenge genau dann, wenn P[A]=1 ) |
Hallo Leute,
also zunächst sei eine Familie [mm] (A_i)_{i\in \IN} [/mm] von Einsmengen vorgegeben.
Dann ist hier ja zu zeigen, dass das Folgende gilt:
[mm] P[\bigcap_{n\ge 1} A_n]=1
[/mm]
Da nun alle Ereignisse Einsmengen sind, d.h. die Wahrscheinlichkeit 1 haben, hätte ich nun gesagt,
dass alle Ereignisse auch stochastisch unabhängig sind.
Demnach gilt:
[mm] P[\bigcap_{n\ge 1} A_n]=P[A_1]*P[A_2]*...=1*1*...=1
[/mm]
Stimmt das so? Oder kann ich von der Wahrscheinlichkeit der Ereignisse nicht auf die stochastische Unabhängigkeit schließen?
Bin für Tipps und Verbesserungsvorschläge aller Art offen :). Danke mal!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:18 Fr 16.04.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Zeigen Sie:
> Der Durchschnitt von abzählbar unendlich vielen
> Einsmengen ist wieder eine Einsmenge.
>
> (Hinweis: Ein Ereignis A heißt Einsmenge genau dann, wenn
> P[A]=1 )
>
> also zunächst sei eine Familie [mm](A_i)_{i\in \IN}[/mm] von
> Einsmengen vorgegeben.
> Dann ist hier ja zu zeigen, dass das Folgende gilt:
> [mm]P[\bigcap_{n\ge 1} A_n]=1[/mm]
>
> Da nun alle Ereignisse Einsmengen sind, d.h. die
> Wahrscheinlichkeit 1 haben, hätte ich nun gesagt,
> dass alle Ereignisse auch stochastisch unabhängig sind.
Das sollst du sozusagen zeigen 
Mach es doch so. Du musst zeigen, dass [mm] $P[\Omega \setminus \bigcap_{n\in\IN} A_n] [/mm] = 0$ ist. Der Ausdruck auf der linken Seite ist nun gleich [mm] $P[\bigcup_{n\in\IN} (\Omega \setminus A_n)]$, [/mm] und [mm] $P[\Omega \setminus A_n] [/mm] = 0$ fuer jedes $n$. Schaetze [mm] $P[\bigcup_{n\in\IN} (\Omega \setminus A_n)]$ [/mm] doch jetzt mal nach oben ab durch eine Summe, deren jeder Summand gleich 0 ist.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:52 Fr 16.04.2010 | | Autor: | kegel53 |
Klasse Idee, das ganze übers Gegenereignis zu machen!
Herzlichen Dank!!
|
|
|
|
