Schnitt kompakter Mengen < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:37 Sa 14.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
| Aufgabe | Sei X ein topologischer Raum.
Sind beliebige Durchschnitte kompakter Teilmengen von X wieder kompakt? |
Also ich würde obige Frage zunächst mal mit JA beantworten. Mein Beweis würde wie folgt aussehen:
Sei [mm] (K_i)_{i\in I} [/mm] eine Familie kompakter Teilmengen von X und [mm] K:=\bigcap_{i\in I} K_i.
[/mm]
Es ist dann also [mm] K\subseteq K_i [/mm] und da [mm] K_i [/mm] für alle [mm] i\in [/mm] I kompakt, ist auch K kompakt.
Allerdings bin ich mir bei dem Beweis nich sicher. Geht das so in Ordnung?
Könnte man das auch etwas eleganter beweisen oder zumindest anders?? Danke schon mal.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:23 So 15.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei X ein topologischer Raum.
> Sind beliebige Durchschnitte kompakter Teilmengen von X
> wieder kompakt?
>
> Also ich würde obige Frage zunächst mal mit JA
> beantworten. Mein Beweis würde wie folgt aussehen:
> Sei [mm](K_i)_{i\in I}[/mm] eine Familie kompakter Teilmengen von X
> und [mm]K:=\bigcap_{i\in I} K_i.[/mm]
> Es ist dann also [mm]K\subseteq K_i[/mm]
> und da [mm]K_i[/mm] für alle [mm]i\in[/mm] I kompakt, ist auch K kompakt.
>
> Allerdings bin ich mir bei dem Beweis nich sicher. Geht das
> so in Ordnung?
Wenn du von einem Beweis nicht jeden Schritt begruenden kannst, dann ist er eventuell nicht richtig.
Sind beliebige Teilmengen kompakter Mengen wieder kompakt? Offenbar nein ($[0, 1]$ ist kompakt, $(0, 1)$ ist eine Teilmenge, aber $(0, 1)$ ist nicht kompakt).
Also musst du noch mehr argumentieren. Kennst du z.B. bestimmte Teilmengen kompakter Mengen, die wieder kompakt sind?
Und mal ne andere Frage: wie genau habt ihr Kompaktheit definiert? Und was weisst du ueber kompakte Mengen?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:04 So 15.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
Hey Felix,
vielen Dank ich hab inzwischen meinen Fehler erkannt. Es sind nicht beliebige Teilmengen kompakter Mengen wieder kompakt, sondern die Teilmengen müssen zusätzlich noch abgeschlossen sein.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:53 So 15.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> vielen Dank ich hab inzwischen meinen Fehler erkannt. Es
> sind nicht beliebige Teilmengen kompakter Mengen wieder
> kompakt, sondern die Teilmengen müssen zusätzlich noch
> abgeschlossen sein.
Nicht umbedingt! Schau dir mal den topologischen Raum $(X, [mm] \tau)$ [/mm] mit $|X| [mm] \ge [/mm] 2$ und [mm] $\tau [/mm] = [mm] \{ X, \emptyset \}$ [/mm] an. Jede einelementige Teilmenge von $X$ ist kompakt, jedoch weder abgeschlossen noch offen.
In metrischen Raeumen sind kompakte Mengen jedoch immer abgeschlossen.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:12 So 15.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
Es muss sich also um einen kompakten topologischen Raum handeln. Dann sind abgeschlossen und kompakt äquivalent.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:27 So 15.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
Reicht es auch aus, wennn der topologische Raum nur lokal kompakt ist?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:02 So 15.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Reicht es auch aus, wennn der topologische Raum nur lokal
> kompakt ist?
Nochmal die Nachfrage: wie habt ihr kompakt definiert? Nur per Ueberdeckungseigenschaft, oder auch mit Trennungseigenschaft?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:36 So 15.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
Sei X ein topologischer Raum.
Es heißt X kompakt, wenn X hausdorffsch und jede offene Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung besitzt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:18 So 15.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Reicht es auch aus, wennn der topologische Raum nur lokal
> kompakt ist?
Ich denke schon.
Allerdings: deine Teilmenge [mm] $\bigcap_{i \in I} K_i$ [/mm] liegt doch in dem kompakten Raum [mm] $K_j$ [/mm] mit $j [mm] \in [/mm] I$ fest gewaehlt.
Und dass [mm] $K_i \cap K_j$ [/mm] kompakt ist fuer zwei $i, j$ kann man sich einfach ueberlegen: damit ist [mm] $\bigcap_{i \in I} K_i [/mm] = [mm] \bigcap_{i \in I} (K_i \cap K_j)$. [/mm] Damit kannst du das alles auf den Fall "$X$ ist kompakt" zurueckfuehren.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:19 So 15.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
Bedeutet das, dass ich einen lokal kompakten Raum zu einem kompakten Raum "machen" kann? Eher nicht. Könntest du das genauer erklären, wie du das gemeint hast? Also nur damit wir nicht anenander vorbeireden. Ich wollte wissen, ob eine abgeschlossene Teilmenge einer kompakten Menge A in einem lokal kompakten Raum X bereits kompakt ist oder ob X dazu ein kompakter Raum sein muss.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:01 Mo 16.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Bedeutet das, dass ich einen lokal kompakten Raum zu einem
> kompakten Raum "machen" kann? Eher nicht. Könntest du das
> genauer erklären, wie du das gemeint hast? Also nur damit
> wir nicht anenander vorbeireden. Ich wollte wissen, ob eine
> abgeschlossene Teilmenge einer kompakten Menge A in einem
> lokal kompakten Raum X bereits kompakt ist oder ob X dazu
> ein kompakter Raum sein muss.
Ich meinte das so:
Eine Menge heisst ja kompakt, wenn sie als Raum gesehen ein kompakter Raum ist. D.h. es ist voellig egal wie der Raum in dem sie eingebettet aussieht.
Du hast ja jetzt nen Durchschnitt von kompakten Mengen. Wenn du dir eine dieser Mengen nimmst, nennen wir sie [mm] $K_j$, [/mm] kannst du den Durchschnitt als Teilmenge von [mm] $K_j$ [/mm] ansehen. Damit hast du jetzt einen kompakten Raum [mm] $K_j$, [/mm] dort drinnen eine Familie von kompakten Mengen [mm] $K_i \cap K_j$, [/mm] und du hast den Durchschnitt [mm] $\bigcap_i K_i [/mm] = [mm] \bigcap_i (K_i \cap K_j)$.
[/mm]
Und zeigen (oder widerlegen) dass dieser Durchschnitt kompakt ist kannst du jetzt die Situation in [mm] $K_j$ [/mm] betrachten, anstelle in einem beliebigen Raum $X$. Also kannst du so tun, als waere $X = [mm] K_j$, [/mm] also als waer $X$ selber kompakt.
Macht das jetzt mehr Sinn?
(In einem kompakten Raum sind kompakte Teilmengen ja abgeschlossen, und beliebiger Durchschnitt abgeschlossener Mengen ist wieder abgeschlossen, und ...)
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:29 Mo 16.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
Alles klar. Vielen Dank.
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