Schnelle stoch. Konvergenz < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zu zeigen ist, dass für eine Folge von Zufallsvariablen [mm] (X_n)_{n\in \mathbb{N}}, [/mm] die fast sicher gegen Null konvergiert, nicht gelten muss, dass diese schnell in Wahrscheinlichkeit gegen Null konvergiert. |
Hallo. Das leidige Thema der Konvergenz verfolgt mich mal wieder. Bei dieser Aufgabe habe ich nicht mal einen Ansatz. Auch der Tipp, einen geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum auf der Grundmenge [mm] \Omega [/mm] = [0,1] zu betrachten hilft mir nicht. Ich weiß, dass für bei schneller Konvergenz einer Folge von Zufallsvariablen [mm] (X_n)_n [/mm] gegen X gelten muss:
[mm] \sum_{n\ge 1}P(|X_n-X|\ge \epsilon)<\infty [/mm] für alle [mm] \epsilon [/mm] > 0
Außerdem habe ich mir gedacht, dass ich als W'raum ja [mm] ([0,1],\mathcal{B}([0,1]),\lambda_{|[0,1]}) [/mm] nehmen könnte. Was mich aber stutzig macht, ist die Tatsache, dass sich die Definition der schnellen stochastischen Konvergenz doch irgendwie mit dem Borel-Cantelli Lemma überschneidet. Ist das korrekt? Und wenn ja, wie kann ich dann zeigen, dass aus der P-fast sicheren Konvergenz nicht zwangsläufig die schnelle stochastische Konvergenz fogt.
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Hiho,
zäum das Pferd doch mal von hinten auf:
Du willst ja eine stochastische Konvergenz gegen Null haben, d.h. es muss gelten:
[mm] $P[X_n \ge \varepsilon] \to [/mm] 0$
Es soll weiterhin gelten
[mm] $\sum_{n\ge 1} P[X_n \ge \varepsilon] [/mm] = [mm] \infty$
[/mm]
Nun stell dir doch mal die Frage: Welche Folge hast du im 1. Semester kennengelernt, für die gilt:
[mm] $a_n \to [/mm] 0, [mm] \sum_{n\ŋe 1} a_n [/mm] = [mm] \infty$?
[/mm]
Gruß,
Gono.
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Ja das ist dann ja [mm] a_n=\frac{1}{n}. [/mm] Aber wie soll mir das helfen?
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Hiho,
> Ja das ist dann ja [mm]a_n=\frac{1}{n}.[/mm]
Wäre eine gute Annahme 
> Aber wie soll mir das helfen?
Nun modellierst du dir Zufallsvariablen, für die gilt [mm] $P[X_n \ge \varepsilon] [/mm] = [mm] \bruch{1}{n}$
[/mm]
Diese erfüllen nach der Vorbetrachtung dann ja das Gewünschte.
Anbieten tun sich für sowas immer Indikatorfunktionen, da diese 1 auf einer Menge [mm] A_n [/mm] sind (und somit insbesondere größer als kleine [mm] $\varepsilon$) [/mm] und 0 sonst und somit gilt:
[mm] $P[X_n \ge \varepsilon] [/mm] = [mm] P[X_n [/mm] = 1] = [mm] P[A_n]$
[/mm]
Und schon verändert sich die Aufgabe ab in:
Finde Mengen [mm] A_n [/mm] so dass gilt [mm] $P[A_n] [/mm] = [mm] \bruch{1}{n}$
[/mm]
Das sollte dir auf dem von dir gewählten W-Raum nicht schwer fallen.
Gruß,
Gono.
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Sorry, aber du überrenst mich gerade. Wie zeige ich denn dann die fast sichere konvergenz?
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> Sorry, aber du überrenst mich gerade. Wie zeige ich denn
> dann die fast sichere konvergenz?
Hallo,
also falls ich die fast sichere Konvergenz richtig verstanden habe (falls nein, wird man mich wohl korrigieren; ist das Konvergenz dem Maße nach?), dann musst du doch zeigen, dass
$ [mm] P[X_n \ge \varepsilon] \to [/mm] 0$ gilt, oder nicht?
Gono hat ja schon gezeigt:
$ [mm] P[X_n \ge \varepsilon] [/mm] = [mm] P[X_n [/mm] = 1] = [mm] P[A_n] [/mm] $
und es gilt natürlich [mm] $P[X_n \ge \varepsilon] [/mm] = [mm] P[X_n [/mm] = 1] = [mm] P[A_n] =\frac{1}{n}\to [/mm] 0$ für [mm] $n\to \infty$. [/mm] Als Mengen [mm] $A_n$ [/mm] könnte man [mm] $A_n:=[0,\frac{1}{n}]$ [/mm] wählen, also [mm] $X_n:=\chi_{[0,1/n]}$. [/mm]
Was du dann für die Summe bekommst, ist dann ja auch genau das, was du haben willst.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:44 Do 21.11.2013 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> also falls ich die fast sichere Konvergenz richtig
> verstanden habe (falls nein, wird man mich wohl
> korrigieren; ist das Konvergenz dem Maße nach?)
nein. Das wäre die stochastische Konvergenz.
Fast sichere Konvergenz entspricht der punktweisen Konvergenz fast überall, also:
[mm] $\IP\left(\lim_{n\to\infty} X_n = X\right) [/mm] = 1$
Die von dir angegebene Folge liefert aber genau das (was natürlich noch zu zeigen ist).
Gruß,
Gono.
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Ich verstehe nur noch Bahnhof. Ich soll doch zeigen, dass aus fast sicherer Konvergenz nicht zwangsläufig schnelle stochastische Konvergenz folgt. Wieso soll ich dann stochastische Konvergenz zeigen???
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Hiho,
> Ich soll doch zeigen, dass aus fast sicherer Konvergenz nicht zwangsläufig schnelle stochastische Konvergenz folgt.
Ja. Und das macht man am Besten mit einem Beispiel!
Und genau das solltest du dir überlegen.
Weise also nach, dass für das Beispiel gilt:
[mm] X_n [/mm] konvergiert fast sicher
[mm] X_n [/mm] konvergiert nicht schnell stochastisch.
Eins davon gilt per Konstruktion automatisch (welches), das andere ist zu zeigen.
Stochastische Konvergenz musst du übrigens nicht zeigen, denn die folgt automatisch aus der fast sicheren Konvergenz!
Gruß,
Gono.
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Mein Gott komm ich mir dumm vor. Ich verstehe es nicht. Wie zeige ich den fast sichere Konvergenz? Normalerweise doch mit dem Lemma von Borel-Cantelli???
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Hiho,
> Wie zeige ich den fast sichere Konvergenz?
Direkt!
Was ist denn [mm] $\lim_{n\to\infty} X_n(\omega)$ [/mm] für [mm] $\omega \in \Omega$?
[/mm]
> Normalerweise doch mit dem Lemma von Borel-Cantelli???
Komm doch mal vom Lemma von Borel-Cantelli weg. Das hast du schon im Eingangsposting erwähnt und wurde bisher nicht umsonst gekonnt ignoriert!
Das Lemma von Borel-Cantelli solltest du dringend nacharbeiten und feststellen, dass es nichts mit fast sicherer Konvergenz von Zufallsvariablen zu tun hat.
Gruß,
Gono.
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Tut mir leid, aber so wurde es uns von unserem in der Vorlesung erklärt. Borel-Cantelli sei der einfachste Weg um fast sichere Konvergenz zu belegen. Deshalb bin ich ja auch so verwirrt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:54 Do 21.11.2013 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> Tut mir leid, aber so wurde es uns von unserem in der
> Vorlesung erklärt. Borel-Cantelli sei der einfachste Weg
> um fast sichere Konvergenz zu belegen. Deshalb bin ich ja auch so verwirrt.
Ja, man kann es dazu verwenden!
Aber eben nur, wenn schnelle stochastische Konvergenz vorliegt.
Dann kann man damit mit dem Lemma von Borel-Cantelli zeigen, dass die Folge auch fast sicher konvergiert.
Aber hier sollst du ja eben gerade eine Folge angeben, die NICHT schnell stochastisch konvergiert. Demzufolge funktioniert der Weg über Borel-Cantelli nicht.
Gruß,
Gono.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:55 Do 21.11.2013 | | Autor: | Fry |
Ja, das stimmt ja auch quasi:
Aus der schnellen Konvergenz folgt stets die fast sichere Konvergenz.
Also:
[mm] $\sum_{n\ge 1} P(|X_n-X|>\varepsilon)<\infty$ [/mm] für alle [mm] $\varepsilon>0$
[/mm]
=> [mm] $X_n$ [/mm] konvergiert P-fast sicher gegen X
und der Beweis dieser Aussage wird über Borel-Cantelli geführt.
LG
Fry
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:00 Do 21.11.2013 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
edit: ok hier stand Blödsinn 
Gruß
Gono.
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Danke euch. Ich habe es verstanden. Zumindest die Grundzüge. Ich hatte mich halt so auf Borel-Cantelli gestützt und dann einfach den Überblick verloren. Ich danke euch nochmals. Ich versuche mich dann man an den nächsten Aufgaben. Melde mich dann evtl. nochmal.
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