Schmidtsche Orthonormierung < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Im Vektorraum aller Polynome x(t) = [mm] a_{3} [/mm] t3 + [mm] a_{2} [/mm] t2 + [mm] a_{1} [/mm] t + [mm] a_{0} [/mm] (t [mm] \in [/mm] [-1; 1]) mit reellen Koeffizienten [mm] a_{k} [/mm] und
dem Skalarprodukt
(x(t),y(t)) := [mm] \integral_{-1}^{1}{x(t)*y(t) dt}
[/mm]
wende man das Schmidtsche Orthonormierungsverfahren auf die Basis [mm] b_{1} [/mm] (t) =1,
[mm] b_{2} [/mm] (t) =t,
[mm] b_{3} [/mm] (t) = t2,
[mm] b_{4} [/mm] (t) = t3 an! |
Hallo
Ich habe ein Problem mit der Aufgabe! Ich verstehe nur Bahnhof und bekomme kein Ansatz oder Ähnliches hin. Kann mir da einer helfen? Mein Komilitonen meinen das wir das noch garnicht hatten und wir müssen die Aufgabe schon diese Woche abgeben.
Bitte um Hilfe!
mfg
|
|
| |
|
Hallo thunder,
> Im Vektorraum aller Polynome x(t) = [mm]a_{3}[/mm] t3 + [mm]a_{2}[/mm] t2 +
> [mm]a_{1}[/mm] t + [mm]a_{0}[/mm] (t [mm]\in[/mm] [-1; 1]) mit reellen Koeffizienten
> [mm]a_{k}[/mm] und
Benutze das Dach ^ links neben der 1, um Exponenten darzustellen:
[mm]x(t)=a_2t^3+a_2t^2+a_1t+a_0[/mm] <-- klick!
> dem Skalarprodukt
> (x(t),y(t)) := [mm]\integral_{-1}^{1}{x(t)*y(t) dt}[/mm]
> wende man
> das Schmidtsche Orthonormierungsverfahren auf die Basis
> [mm]b_{1}[/mm] (t) =1,
> [mm]b_{2}[/mm] (t) =t,
> [mm]b_{3}[/mm] (t) = t2,
[mm]t^2[/mm] !!
> [mm]b_{4}[/mm] (t) = t3
[mm]t^3[/mm] !!
> an!
> Hallo
>
> Ich habe ein Problem mit der Aufgabe! Ich verstehe nur
> Bahnhof und bekomme kein Ansatz oder Ähnliches hin. Kann
> mir da einer helfen? Mein Komilitonen meinen das wir das
> noch garnicht hatten und wir müssen die Aufgabe schon
> diese Woche abgeben.
Nun, wenn ihr das nicht hattet, ist das natürlich etwas fies.
Es ist aber nicht so schwer, als dass man es aus anderen Quellen als der VL nicht verstehen könnte.
Schaue etwa auf wikipedia
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Gram-Schmidtsches_Orthogonalisierungsverfahren
Dort ist es ganz gut erklärt, ein Bsp. ist auch vorgerechnet.
Beachte aber, dass du nicht das Standardskalarprodukt, sondern dein oben definiertes SP hernehmen musst.
Es ist etwa [mm]==\int\limits_{-1}^1{t\cdot{}t^2} \ dt}=\left[\frac{1}{4}t^4\right]_{-1}^1=0[/mm]
>
> Bitte um Hilfe!
In dem Wikiartikel wird aus der gegebenen Basis (bzw. dem System) zunächst eine Orthogonalbasis (ein OG-System) gemacht.
Anschließend wird jeder Vektor normiert, um eine ONB (ein ON-System) zu erhalten.
Lies dir den Artikel mal in Ruhe durch, versuche nachzuvollziehen, was die da treiben und übertrage es dann auf deine Aufgabe!
>
> mfg
Viel Erfolg!
schachuzipus
|
|
|
|
