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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:49 Mi 22.04.2009 | | Autor: | MaRaQ |
| Aufgabe | Sei A : [mm] \IR^4 [/mm] rightarrow [mm] \IR^4 [/mm] gegeben durch die Matrix
A = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 & 2 \\ -1 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 2 & 2} [/mm] und sei b = [mm] \pmat{0\\0\\1}
[/mm]
a) bestimmen Sie mit dem Schmidtschen ONV eine ONB von U = BildA.
b) Bestimmen Sie einen Vektor [mm] x_0 \in \IR^4, [/mm] so dass [mm] ||Ax_0 [/mm] - b|| [mm] \le [/mm] ||Ax-b|| für alle x [mm] \in \IR^4 [/mm] gilt. [mm] (x_0 [/mm] heißt Näherungslösung der Gleichung Ax=b) |
Zur Aufgabe a)
U = < [mm] \pmat{1\\-1\\0} [/mm] , [mm] \pmat{0\\1\\2} [/mm] , [mm] \pmat{1\\0\\2},\pmat{2\\-1\\2} [/mm] > ist ein Erzeugendensystem.
Durch [mm] \pmat{1\\0\\2} [/mm] = [mm] \pmat{1\\-1\\0} [/mm] + [mm] \pmat{0\\1\\2}
[/mm]
und [mm] \pmat{2\\-1\\2} [/mm] = [mm] 2\pmat{1\\-1\\0} [/mm] + [mm] \pmat{0\\1\\2}
[/mm]
lässt es sich offensichtlich verkürzen auf U = < [mm] \pmat{1\\-1\\0} [/mm] , [mm] \pmat{0\\1\\2} [/mm] >, die Dimension ist identisch mit dim(Bild A) --> unverkürzbares Erzeugendensystem --> Basis.
Des weiteren wende ich das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren an:
[mm] v_1 [/mm] = [mm] \pmat{1\\-1\\0} [/mm] , [mm] v_2 [/mm] = [mm] \pmat{0\\1\\2}
[/mm]
[mm] w_1 [/mm] = [mm] \bruch{v_1}{||v_1||} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}\pmat{1\\-1\\0}
[/mm]
[mm] w_2 [/mm] = [mm] \bruch{v_2 - w1}{||v_2 - w_1||} [/mm] = ... = [mm] \bruch{3}{\wurzel{2}}\pmat{\bruch{1}{2}\\ -\bruch{1}{2} \\ 2}
[/mm]
Damit wäre < [mm] w_1 [/mm] , [mm] w_2 [/mm] > die gesuchte O.N.B.
Ich hoffe mal ich habe mich nicht verrechnet, und vor allem das Verfahren nicht falsch angewandt. 
Zur Aufgabe b) Jemand eine Idee, was ich hier machen muss? Ich verstehe die Formulierung leider nicht.
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Hallo MaRaQ,
> Sei A : [mm]\IR^4[/mm] rightarrow [mm]\IR^4[/mm] gegeben durch die Matrix
> A = [mm]\pmat{ 1 & 0 & 1 & 2 \\ -1 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 2 & 2}[/mm]
> und sei b = [mm]\pmat{0\\0\\1}[/mm]
>
> a) bestimmen Sie mit dem Schmidtschen ONV eine ONB von U =
> BildA.
> b) Bestimmen Sie einen Vektor [mm]x_0 \in \IR^4,[/mm] so dass
> [mm]||Ax_0[/mm] - b|| [mm]\le[/mm] ||Ax-b|| für alle x [mm]\in \IR^4[/mm] gilt. [mm](x_0[/mm]
> heißt Näherungslösung der Gleichung Ax=b)
> Zur Aufgabe a)
> U = < [mm]\pmat{1\\-1\\0}[/mm] , [mm]\pmat{0\\1\\2}[/mm] ,
> [mm]\pmat{1\\0\\2},\pmat{2\\-1\\2}[/mm] > ist ein
> Erzeugendensystem.
> Durch [mm]\pmat{1\\0\\2}[/mm] = [mm]\pmat{1\\-1\\0}[/mm] + [mm]\pmat{0\\1\\2}[/mm]
> und [mm]\pmat{2\\-1\\2}[/mm] = [mm]2\pmat{1\\-1\\0}[/mm] + [mm]\pmat{0\\1\\2}[/mm]
> lässt es sich offensichtlich verkürzen auf U = <
> [mm]\pmat{1\\-1\\0}[/mm] , [mm]\pmat{0\\1\\2}[/mm] >, die Dimension ist
> identisch mit dim(Bild A) --> unverkürzbares
> Erzeugendensystem --> Basis.
>
> Des weiteren wende ich das Schmidtsche
> Orthonormalisierungsverfahren an:
> [mm]v_1[/mm] = [mm]\pmat{1\\-1\\0}[/mm] , [mm]v_2[/mm] = [mm]\pmat{0\\1\\2}[/mm]
>
> [mm]w_1[/mm] = [mm]\bruch{v_1}{||v_1||}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}}\pmat{1\\-1\\0}[/mm]
> [mm]w_2[/mm] = [mm]\bruch{v_2 - w1}{||v_2 - w_1||}[/mm] =
> ... = [mm]\bruch{3}{\wurzel{2}}\pmat{\bruch{1}{2}\\ -\bruch{1}{2} \\ 2}[/mm]
Hier muß es doch heißen:
[mm]w_{2}=\bruch{\wurzel{2}}{3}*\pmat{\bruch{1}{2}\\ \red{+}\bruch{1}{2} \\ 2}[/mm]
>
> Damit wäre < [mm]w_1[/mm] , [mm]w_2[/mm] > die gesuchte O.N.B.
>
> Ich hoffe mal ich habe mich nicht verrechnet, und vor allem
> das Verfahren nicht falsch angewandt.
>
> Zur Aufgabe b) Jemand eine Idee, was ich hier machen muss?
> Ich verstehe die Formulierung leider nicht.
Das Gleichungsystem [mm]Ax=b[/mm]
ist auf die Form [mm]\tilde{A}*x=\tilde{b}[/mm] zu bringen,
wobei [mm]\tilde{A}[/mm] eine quadratische Matrix sein muß.
Dies erreichst Du durch Multiplikation von [mm]A^{t}[/mm] von links,
angewendet auf [mm]Ax=b[/mm]
Dann hast Du eine Lösung von
[mm]\left(A^{t}*A\right)*x=\left(A^{t}*b\right)[/mm]
zu bestimmen.
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:01 Do 23.04.2009 | | Autor: | MaRaQ |
Danke, das war zwar gar nicht mal so einfach, aber ich glaube ich habs geschafft.
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