Schließungssatz von Papos < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:42 Mo 29.05.2006 | | Autor: | laryllan |
| Aufgabe | | Zeigen Sie: Ist [mm] \mathbb{K} [/mm] kommutativ, so gilt in $PG ( 2, [mm] \mathbb{K} [/mm] )$ der Schließungssatz von Pappos / Pappus: Für jedes Paar verschiedener Geraden $g,h$ und jede Wahl von paarweise verschiedenen Punkten [mm] P_{i},Q_{i} [/mm] mit [mm] P_{i} \in [/mm] g, [mm] Q_{i} \in [/mm] h und [mm] P_{i},Q_{i} \notin [/mm] g [mm] \cap [/mm] h, wobei i [mm] \in \{ 1,2,3 \} [/mm] sind die Schnittpunkte [mm] S_{1}=P_{2}Q_{3} \cap P_{3}Q_{2}, S_{2}=P_{1}Q_{3} \cap P_{3}Q_{1} [/mm] und [mm] S_{3}=P_{2}Q_{1} \cap P_{1}Q_{2} [/mm] kollinear. |
Hallo zusammen,
Wiedermal hab ich eine wirklich schöne Aufgabe, deren Lösung mit Kopfzerbrechen bereitet. Der Satz von Pappos (oder Pappus) ist mir noch aus den mitgelieferten Übungen des Geo-Programms Cinderella bekannt.
Wie er funktioniert (und dass er funktioniert) habe ich mir schon verdeutlichen können (wenn halt auch 'nur' anschaulich). Nun geht es allerdings ans Aufschreiben und es beginnt zu stocken.
Da ich in der porjektiven Geometrie (PG) bin, besser gesagt in einer projektiven Ebene, weiß ich ja schonmal, dass jeder "Punkt" eigentlich einen 1-dimensionalen Untervektorraum meint/aufspannt und die beiden gegebenen Geraden auch gerade je einen 2-dimensionalen Untervektorraum der Ebene (die dann folgerichtig ein 3-dimensionaler Unterraum von [mm] \mathbb{K}^{3} [/mm] ist) darstellen.
Rein von meinen Überlegungen her, hätte ich mir das so vorgestellt:
Ich weiß leider nicht, was mit die Kommutativität in diesem Fall nutzen kann / soll, hatte mir aber gedacht, dass ich mir einen Ursprung auszeichnen könnte. Somit würde ich jedem Punkt [mm] $P_{i}$ [/mm] bzw. [mm] $Q_{i}$ [/mm] seinen Ortsvektor zuordnen. Die 'Verbindungsgeraden' könnte man ja dann gerade als Differenz darstellen, also sowas wie [mm] $P_{2}Q_{3}=\vec{p_{2}}-\vec{q_{3}}$ [/mm] oder sowas in dem Dreh. Die Vektoren wären (was eigentlich offensichtlich sein sollte, weil die Punkte ja nach Voraussetzung nicht gleich sein dürfen) dann linear unabhängig und würden eine Gerade als 2-dimensionalen UVR aufspannen.
Als nächstess würde ich die Existenz der drei geforderten Schnittpunkte also 1-dimensionalen Untervektorräume zeigen. Wie ist eine gute Frage - nach meinen Überlegungen hätte ich jetzt den Dimensionssatz genommen.
Wenn ich die Existenz der drei Punkte gezeigt habe, gilt es eigentlich nur noch zu zeigen, dass die drei Punkte linear abhängig sind, also dass (genau) einer davon sich mit den anderen beiden Darstellen lässt. Ansich wäre ich dann doch fertig oder?
Allerdings stell ich mir nun die Frage wie ich das adäquat aufschreiben kann (und natürlich, was die Aussage, dass [mm] \mathbb{K} [/mm] kommutativ ist mir nützt). Nach ersten Testen gestaltet sich vor allem das Finden und Darstellen der Schnittpunkte als schwierig.
Wäre echt super, wenn mir da jemand helfen könnte. Besten Dank im Vorraus.
Namárie,
sagt ein Lary, der nun wieder in eine Vorlesung watschelt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:29 Mo 29.05.2006 | | Autor: | piet.t |
Hallo Lary,
>
> Da ich in der porjektiven Geometrie (PG) bin, besser gesagt
> in einer projektiven Ebene, weiß ich ja schonmal, dass
> jeder "Punkt" eigentlich einen 1-dimensionalen
> Untervektorraum meint/aufspannt und die beiden gegebenen
> Geraden auch gerade je einen 2-dimensionalen
> Untervektorraum der Ebene (die dann folgerichtig ein
> 3-dimensionaler Unterraum von [mm]\mathbb{K}^{3}[/mm] ist)
> darstellen.
Ein dreidimensionaler Unterraum des [mm] \IK^3 [/mm] müsste aber m.E. schon der ganze [mm] \IK^3 [/mm] sein, oder nicht?
>
> Rein von meinen Überlegungen her, hätte ich mir das so
> vorgestellt:
>
> Ich weiß leider nicht, was mit die Kommutativität in diesem
> Fall nutzen kann / soll, hatte mir aber gedacht, dass ich
> mir einen Ursprung auszeichnen könnte.
Den brauchst Du Dir nicht extra auszeichnen, der [mm] \IK^3 [/mm] hat auf alle Fälle einen. Die projektive Ebene hat in dem Sinn keinen Ursprung, aber da braucht man ihn auch eigentlich nicht.
>Somit würde ich
> jedem Punkt [mm]P_{i}[/mm] bzw. [mm]Q_{i}[/mm] seinen Ortsvektor zuordnen.
O.K.!
> Die 'Verbindungsgeraden' könnte man ja dann gerade als
> Differenz darstellen, also sowas wie
> [mm]P_{2}Q_{3}=\vec{p_{2}}-\vec{q_{3}}[/mm] oder sowas in dem Dreh.
Aber Du hast ja vorhin schon festgestellt, dass die Verbindungsgeraden ja zweidimensionale Unterräume des [mm] \IK^3 [/mm] sind, mit einer einfachen Differenz kommst Du da nicht unbedingt hin.
> Die Vektoren wären (was eigentlich offensichtlich sein
> sollte, weil die Punkte ja nach Voraussetzung nicht gleich
> sein dürfen) dann linear unabhängig und würden eine Gerade
> als 2-dimensionalen UVR aufspannen.
>
Das passt schon wieder eher: die Verbindungsgerade ist also der von [mm] \vec{v_1} [/mm] und [mm] \vec{v_2} [/mm] aufgespannte Unterraum.
> Als nächstess würde ich die Existenz der drei geforderten
> Schnittpunkte also 1-dimensionalen Untervektorräume zeigen.
> Wie ist eine gute Frage - nach meinen Überlegungen hätte
> ich jetzt den Dimensionssatz genommen.
Damit kann man zumindest zeigen, dass der Schnitt der Unterräume mindestens Dimension 1 haben muss. Wäre die Dimension des Schnitts aber zwei würden die Teilräume (proj. Geraden) zusammenfallen. (Warum kann das nicht sein??)
>
> Wenn ich die Existenz der drei Punkte gezeigt habe, gilt es
> eigentlich nur noch zu zeigen, dass die drei Punkte linear
> abhängig sind, also dass (genau) einer davon sich mit den
> anderen beiden Darstellen lässt. Ansich wäre ich dann doch
> fertig oder?
>
Aber an der Stelle geht es eigentlich erst richtig los....
Ich habe mir mal meine alten Vorlesungsunterlagen rausgekramt und den Beweis angeschaut. Wenn ihr schon homogene Koordinaten hattet ist die Rechnung überhaupt nicht dramatisch (so ging es zumindest bei uns), wenn nicht muss man wohl doch etwas mehr Überlegung hineinstecken.
Der Trick an der ganzen Sache ist wohl vor allem, dass man eine geeignete Basis für den [mm] \IK^3 [/mm] wählt, bezüglich der sich die gegebenen Punkte gut darstellen lassen. Man kann z.B. immer eine Basis finden, dass vier der Punkte (je zwei pro Gerade) durch die Koordinaten (1:0:0), (0:1:0), (0:0:1) und (1:1:1) dargestellt werden (ich schreibe das jetzt in homhogenen Koordinaten, aber das ganze auf die eindimensionalen Teilräume zu übertragen müsstest Du wohl schaffen).
Damit haben die beiden noch offenen Punkte jeweils einen freien Parameter und mann kann die Schnittpunkte der Verbindungsgeraden explizit ausrechnen. Und an dem Ergebnis kann man dann ablesen, dass sie genau dann kollinear sind, wenn der Körper kommutativ ist.
Probier doch mal, ob Du damit ein Stückchen weiter kommst....
Gruß
piet
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:12 Mo 29.05.2006 | | Autor: | laryllan |
Hallo Piet und danker erstmal,
Also nach meinem bisherigen Wissen, muss die Ebene als 3-dimensionaler UVR von [mm] \mathbb{R}^{3} [/mm] nicht zwangsläufig gleich dem ganzen Raum sein.
Mein Problem ist die Anschauung. In der Tat, wir haben soetwas wie homogene Koordinaten bereits gehabt. Das Problem was ich habe ist, dass die drei Punkte je Gerade ja beliebig gewählt sein sollen. Ich weiß nicht, ob ich dann einfach die 'triviale Basis' so ohne weiteres benutzen kann :/ (Oder würde ich an der Stelle einfach argumentieren können, dass ich meinen Ursprung N gerade so wähle dass es geht? - Kann mir aber nicht vorstellen, dass das so klappt). Ich werde mal noch ein wenig daran rumprobieren.
Dass der Schnitt zweier Geraden in der Ebene gerade ein 1-dim. UVR sein muss folgt doch ansich aus dem Dimenensionssatz.
Wir wissen: dim [mm] P_{2}Q_{3} [/mm] + dim [mm] P_{3}Q_{2} [/mm] = dim [mm] (P_{2}Q_{3} [/mm] + [mm] P_{3}Q_{2}) [/mm] + dim ( [mm] P_{2}Q_{3} \cap P_{3}Q_{2} [/mm] . In diesem Fall wissen wir:
dim [mm] P_{2}Q_{3} [/mm] = 2, dim [mm] P_{3}Q_{2}= [/mm] 2 , sowie dim [mm] (P_{2}Q_{3} [/mm] + [mm] P_{3}Q_{2}) \le [/mm] dim (Ebene) = 3 ... zumindest gehe ich stark davon aus.
Namárie,
sagt ein Lary, wo sich mal weiter damit beschäftigen geht
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