Schiefsymmetrie und Symmetrie < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei A eine quadratische Matrix in [mm] \IR. [/mm] Eine Matrix A heißt schiefsymmetrisch wenn gilt A(transponiert) = -A. Zeigen sie, dass jede quadratische Matrix über [mm] \IR [/mm] die Summe einer symmetrischen und einer schiefsymmetrischen Matrix ist. |
Hallo,
wahrscheinlich ist der Beweis ein dreizeiler. Aber ich checke erhrlich gesagt nicht was ich da zeigen soll.
Nehmen wir an, das A eine schiefsymmetrische Matrix ist und B eine symmetrische Matrix ist. Dann muss eine quadratische Matrix C von der folgenden Form sein: C = A+B. Also C als Summe von A und B oder??
Was soll man dann da großartiges machen. Für mich hört sich die Aussage ja ehe falsch an.
für eure hilfe wäre ich sehr dankbar
mfg
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Hallo,
sei also [mm] A\in \IR^{n\times n}, A=(a_{ij}).
[/mm]
Dann gilt
[mm] a_{ij}=\frac{a_{ij}-a_{ji}}{2}\: +\: \frac{a_{ij}+a{ji}}{2}
[/mm]
[mm] a_{ji}=\frac{a_{ij}+a_{ji}}{2}\: =\: \frac{a_{ij}-a_{ji}}{2}
[/mm]
und das liefert Dir direkt die Eintráge der beiden gewünschten Matrizen.
Gruss,
Mathias
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Hi Mathias,
danke für deine Mühe, einem Noob die Grundlagen beizubringen.
Jedoch muss ich ehrlich zugeben, dass ich nicht verstanden habe, was du da gemacht hast :-(
Kannst du vielleicht dein Vorgehen in ein oder zwei Sätzen erklären?
Woher kommt vorallem die 2?
danke
mfg
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ok hallo
am besten schreibst du dir auf was du weisst und löst dann alles auf. M ist unsere gesuchte Matrix
M = [mm] \pmat{ a_{1 1} & ... & a_{1 n} \\ ... & ... & ... \\ a_{1 n} & ... & a_{n n} } [/mm] + [mm] \pmat{ 0 & b_{1 2} & ... & ... & b_{n 1} \\ -b_{1 2}& 0 & b_{2 3} & ... & b_{2 n} \\ ... & ... & ... & ... & ... \\ ... & ... & ... & ... & b_{n-1 n}\\ -b_{n 1} & ... & ... & -b_{n-1 n} & 0}
[/mm]
daraus folgt, dass [mm] m_{i i}=a_{i i}
[/mm]
und
[mm] m_{i j} [/mm] = [mm] a_{i j} [/mm] + [mm] b_{i j}
[/mm]
[mm] m_{j i}=a_{i j} [/mm] - [mm] b_{i j}
[/mm]
=> [mm] x_{i j}-x_{j i}=a_{i j} [/mm] + [mm] b_{i j}-(a_{i j} [/mm] - [mm] b_{i j})=2b_{i j}
[/mm]
[mm] x_{i j}+x_{j i}=a_{i j} [/mm] + [mm] b_{i j}+(a_{i j} [/mm] - [mm] b_{i j})=2a_{i j}
[/mm]
Nun sollte es klar sein von wo die 2 kommt.
ich hoffe das hat geholfen.
mfg henniez
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