Schiefe Asymptote < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Folgende Aufgabe:
Gegeb sei die Funktion:
e^(1/x) * x
Zeigen sie, dass die erste Winkelhalbierende y = x keine Asymptote von f ist! Bestimmen Sie die schiefe Asymptote von f für x -> +- unendlich !
Nu hab ich mir überleget:
Wenn Asymptote dann müsste ja
lim x->unendlich von F(x) - x = 0 sein
Wenn ich das aufstelle sieht das dann so aus:
lim x->oo x*e^(1/x) - x = 0 , da e^(1/x) ja 1 wird für x gegen unendlich und dann bleibt übrig x - x = 0 für x gegen unendlich!
Oder hab ich da einen Denkfehler drin?
Wie bestimme ich denn in diesem fall überhaupt die schiefe Asymptote?
Grüsse,
Pascal
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:55 So 09.01.2005 | | Autor: | e.kandrai |
Geht es hier um die Funktion [mm]f(x)=x \cdot e^{\bruch{1}{x}}[/mm]?
Also, meiner Meinung nach lautet die schiefe Asymptote tatsächlich [mm]y=x[/mm], und in deiner Überlegung finde ich auch keinen Fehler...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:07 So 09.01.2005 | | Autor: | Spectre01 |
Ja genau um diese handelt es sich!
Es muss allerdings eine Lsg. geben da dies eine Aufgabe in einer Arbeit war und mein Mathelehrer so gut wie unfehlbar ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:06 So 09.01.2005 | | Autor: | dominik |
Die Asymptote hat wahrscheinlich die Gleichung f(x)=x+1.
Das lässt sich zum Beispiel in einer EXCEL-Tabelle gut nachvollziehen:
Je mehr sich der x-Wert von der Null entfernt (nach beiden Seiten), umso näher liegen jeweils die Werte für x+1 und die Werte für [mm] x*e^{ \bruch{1}{x}} [/mm] bei einander!
Für positive x-Werte liegt der Graf der Funktion über dem Grafen der Geraden mit der Gleichung f(x)=x+1, für negative x-Werte unterhalb des Grafen.
Gruss
dominik
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:29 So 09.01.2005 | | Autor: | Emily |
> Folgende Aufgabe:
> Gegeb sei die Funktion:
> e^(1/x) * x
Hallo Pascal,
> Zeigen sie, dass die erste Winkelhalbierende y = x keine
> Asymptote von f ist!
>Bestimmen Sie die schiefe Asymptote
> von f für x -> +- unendlich !
> Nu hab ich mir überleget:
> Wenn Asymptote dann müsste ja
> lim x->unendlich von F(x) - x = 0 sein
richtig!
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} (x*e^\bruch{1}{x} -x) [/mm]
=[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} x*(e^\bruch{1}{x} -1)=1[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow-\infty} (x*e^\bruch{1}{x} -x)[/mm]
=[mm] \limes_{x\rightarrow-\infty} x*(e^\bruch{1}{x} -1)=1[/mm]
[mm] y_{a}=x [/mm] ist also nicht Asymptote
aber:
[mm] y_{a}=x+1 [/mm] ist Asymptote
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} (x*e^\bruch{1}{x} -(x+1)) [/mm]
=[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} (x*(e^\bruch{1}{x} -1)-1)=0[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow-\infty} (x*e^\bruch{1}{x} -(x+1))[/mm]
=[mm] \limes_{x\rightarrow-\infty} (x*(e^\bruch{1}{x} -1)-1)=0[/mm]
Liebe Grüße
Emily
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:03 So 09.01.2005 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Pascal,
> Folgende Aufgabe:
> Gegeb sei die Funktion:
> e^(1/x) * x
>
> Zeigen sie, dass die erste Winkelhalbierende y = x keine
> Asymptote von f ist! Bestimmen Sie die schiefe Asymptote
> von f für x -> +- unendlich !
>
> Nu hab ich mir überleget:
> Wenn Asymptote dann müsste ja
> lim x->unendlich von F(x) - x = 0 sein
>
> Wenn ich das aufstelle sieht das dann so aus:
>
> lim x->oo x*e^(1/x) - x = 0 , da e^(1/x) ja 1 wird für x
> gegen unendlich und dann bleibt übrig x - x = 0 für x gegen
> unendlich!
>
> Oder hab ich da einen Denkfehler drin?
Du darfst nicht einfach für einen Term den Grenzwert bilden und gleichzeitig das x stehen lassen, denn wenn [mm] e^1/x [/mm] gegen 1 geht, geht x ja gegen [mm] \infty [/mm]. D.h. du kämst mit deiner Rechnung auf "[mm] \infty \cdot 1 - \infty [/mm]", und das kannst du nicht einfach gleich null setzen.
> Wie bestimme ich denn in diesem fall überhaupt die schiefe
> Asymptote?
Wie emily schon gesagt hat, ist dein Verfahren in Ordnung, nur halt der Grenzwert
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (xe^\bruch {1}{x} - x) =1 [/mm], was du mit der Regel von L'Hôpital zeigen kannst, indem du folgende Umformung machst
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (xe^\bruch {1}{x} - x) [/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (x(e^\bruch {1}{x} - 1)) [/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch {e^\bruch {1}{x} - 1}{\bruch {1}{x}}) [/mm],
Gruß Sigrid
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> Grüsse,
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> Pascal
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