Scheitelpunktsbestimmung < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:26 Mo 05.07.2010 | | Autor: | Hlene |
Hallo ihr Mathematik-Begeisterten!
Und zwar geht es um die Scheitelpunktsbestimmung mithilfe der quadratischen Ergänzung.
Ich weiß nicht wieso, aber ich habe jetzt schon viiiele verschiedene Erklärungsversuche gegooglet, aber bis jetzt bin ich immer noch nicht ganz durchgestiegen.
Das ist allerdings ein Problem, denn ich muss die Scheitelpktsbst. anhand eines Beispiels erklären können.
Kann mir bitte jemand helfen, indem er mir ein einfaches Beispiel veranschaulichen kann.(f(x)=2x²+4x+5)
Ich danke schon einmal für rege Beteiligung.
Liebe Grüße Hlene
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Zunächst einmal muß man wissen, wie die Scheitelpunktsform der Parabel aussieht, nämlich so
[mm] f(x)=a*(x-d)^2+e.
[/mm]
Der Scheitel ist S(d|e), je nachdem, ob a positiv/negativ ist, ist die Parabel nach oben/unten geöffnet.
Der Scheitelpunkt von f(x)=3(x-4)+5 ist also S(4|5)
Ich mache Dir jetzt mal ein Beispiel vor.
Gegeben ist
[mm] f(x)=3x^2+30x+71
[/mm]
Streckfaktor ausklammern:
[mm] ...=3*(x^2+10x+\bruch{71}{3})
[/mm]
Jetzt [mm] x^2+10x [/mm] quadratisch ergänzen mit [mm] (\bruch{10}{2})^2=5^2=25 [/mm] und - damit sich in Wahrheit nichts verändert, die Ergänzung gleich wieder wegnehmen:
[mm] ...=3*(x^2+10x [/mm] +25 - [mm] 25+\bruch{71}{3})
[/mm]
Nun [mm] x^2+10x [/mm] +25 [mm] =(x+5)^2 [/mm] verwenden und - [mm] 25+\bruch{71}{3} [/mm] berechnen:
...=3*( [mm] (x+5)^3 -\bruch{4}{3})
[/mm]
Ausmultiplizieren:
[mm] ...=3*(x+5)^2-3*\bruch{4}{3}=3*(x+5)^2-4.
[/mm]
Das ist dasselbe wie
...= [mm] 3*(x-(-5)^2-4.
[/mm]
Mit der Scheitelpunktform von oben vergleichen und feststellen: S(-5|-4).
Versuch nun mal Deine Aufgabe nach diesem Muster.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:30 Mo 05.07.2010 | | Autor: | Hlene |
Also nochmal vielen Dank,
durch das Beispiel ist mir das schon viel klarer geworden.
Allerdings verstehe ich nicht, warum die 71 mit in die Klammer "eingearbeitet" werden muss, da ich in meinen Schullehrbüchern etwas verwirrende Ausklammerungen, bei denen Faktor c außerhalb der Klammer stehen muss, gelesen habe.
Grüße Hlene
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> durch das Beispiel ist mir das schon viel klarer geworden.
> Allerdings verstehe ich nicht, warum die 71 mit in die
> Klammer "eingearbeitet" werden muss, da ich in meinen
> Schullehrbüchern etwas verwirrende Ausklammerungen, bei
> denen Faktor c außerhalb der Klammer stehen muss, gelesen
> habe.
Hallo,
ja, man kann das auch etwas anders machen - meine Schüler begreifen es meist besser so, wie ich es zuerst vorgemacht hatte.
Aber so geht's auch:
$ [mm] f(x)=3x^2+30x+71 [/mm] $
Man klammert nur die 3 vor den Summanden "mit x" aus:
[mm] ...=3(x^2+10x) [/mm] +71
Jetzt mach man in der Klammer die Quadratische Ergänzung und nimmt sie gleich wieder fort:
[mm] ...=3(x^2+10x+25-25)+71
[/mm]
Nun schafft man den Teil der Klammer, den man nicht für die binomische Formel braucht, nach draußen:
[mm] ...=3(x^2+10x+25) [/mm] -3*25+71
Binomische Formel:
[mm] ...=3(x+5)^2 [/mm] - 4.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:55 Mo 05.07.2010 | | Autor: | Hlene |
Hallo nochmal!
Also ich bin gerade äußerst begeistert, wie einfach das doch mit der anderen Methode ist.
Ich hab die jetzt mal mit f(x)=2x²+4x+5 ausprobiert.
Ich bin auf das Ergebnis S(-1 | 3) gekommen. Kann das passen ?
Grüße Hlene
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> Ich hab die jetzt mal mit f(x)=2x²+4x+5 ausprobiert.
> Ich bin auf das Ergebnis S(-1 | 3) gekommen. Kann das
> passen ?
Hallo,
das paßt haargenau.
Versuch' morgen nochmal zwei solche Aufgaben, dann kannst Du's.
Gruß v. Angela
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