Scheinbar einfaches Lösen ?! < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] x^{6} [/mm] = 1
Finde alle 6 Lösungen |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hi... eine Aufgabe aus unserem Vorkurs, nachdem wir die komplexen Zahlen einführten.
2 Lösungen sind mir ja offensichtlich, nämlich "1" und "-1"... das konnte ich ja noch mit meinem LK-Wissen erschließen... aber wie komme ich auf die anderen 4, oder gibt es generell nur 2.. Eine Idee von mir war es, den Einheitskreis mit komplexen Zahlen zu benutzen, doch auch dies ergab bei mir nichts...
Bitte um Hilfe !
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:15 Mo 24.09.2007 | | Autor: | andreas |
hi
also auf dem einheitskreis zu suchen, ist schon eine ziemlich gute idee, denn die lösungen der gleichung müssen offenbar betrag $1$ haben. um an eine explizite darstellung der lösung zu kommen solltest du die zahl $1$ in polarkoordinaten darstellen, also in der form $1 = r [mm] e^{i \varphi}$. [/mm] es gilt dann $r = 1$ und [mm] $\varphi [/mm] = 2k [mm] \pi$ [/mm] mit $k [mm] \in \mathbb{Z}$. [/mm] nun musst du die gleichung [mm] $z^6 [/mm] = [mm] e^{i k \pi}$ [/mm] betrachten und diese lösen und solltest damit $6$ verschiedene werte für $z$ erhalten.
grüße
andreas
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Hi und dankefür die schnellen und guten antworten :) nur eine frage stellt sich mir noch: Wie bekomme ich und was ist genau $ [mm] \varphi [/mm] $ ??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:43 Mo 24.09.2007 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Olllollol!
Siehe unten bei meiner Antwort ...
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo Olllollol,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Du kannst hier auch die ![[]](/images/popup.gif) MOIVRE-Formel anwenden:
$$ [mm] \wurzel[n]{z} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel[n]{r}\cdot{}\left[\cos\left(\bruch{\varphi+k\cdot{}2\pi}{n}\right)+\text{i}\cdot{}\sin\left(\bruch{\varphi+k\cdot{}2\pi}{n}\right)\right] [/mm] \ [mm] \text{ mit } [/mm] \ k \ = \ 0 \ ... \ (n-1)$$
Dabei gilt für $z \ = \ [mm] x+\text{i}*y$ [/mm] : $r \ = \ [mm] \wurzel{x^2+y^2}$ [/mm] sowie [mm] $\tan(\varphi) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{y}{z}$
[/mm]
In Deinem Falle gilt ja: $x \ = \ 1$ sowie $y \ = \ 0$ sowie $n \ = \ 6$ .
Gruß vom
Roadrunner
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haltet mich für dumm, aber ich komme nicht auf die lösung, da es bei mir wohl schon an der anwendung der formel scheitert... habe noch die mit komplexen zahlen hantiert und ich habe echt keine ahnung... möchte auch hier nicht um die lösung betteln... tue es aber ;(
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Hallo Olllollol!
Hast Du denn bereits $r_$ und [mm] $\varphi$ [/mm] ausgerechnet (was ja hiernicht sonderlich schwer ist).
Und mit diesen Werten gehst du nun in o.g. Formel und setzt ein. Dabei musst Du dann jeweils die entsprechenden [mm] $\sin$- [/mm] bzw. [mm] $\cos$-Werte [/mm] ausrechnen:
$$r \ = \ 1 \ \ \ [mm] \text{ bzw. } [/mm] \ \ \ [mm] \varphi [/mm] \ = \ 0 \ [mm] \hat= [/mm] \ 0°$$
[mm] $$z_k [/mm] \ = \ [mm] \wurzel[6]{1} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel[6]{1}\cdot{}\left[\cos\left(\bruch{0+k\cdot{}2\pi}{6}\right)+\text{i}\cdot{}\sin\left(\bruch{0+k\cdot{}2\pi}{6}\right)\right] [/mm] \ = \ [mm] 1\cdot{}\left[\cos\left(\bruch{k\cdot{}2\pi}{6}\right)+\text{i}\cdot{}\sin\left(\bruch{k\cdot{}2\pi}{6}\right)\right]\ [/mm] = \ [mm] \cos\left(\bruch{k\cdot{}\pi}{3}\right)+\text{i}\cdot{}\sin\left(\bruch{k\cdot{}\pi}{3}\right)$$
[/mm]
[mm] $$z_{\red{1}} [/mm] \ = \ [mm] \cos\left(\bruch{\red{1}\cdot{}\pi}{3}\right)+\text{i}\cdot{}\sin\left(\bruch{\red{1}\cdot{}\pi}{3}\right) [/mm] \ = \ [mm] \cos\left(\bruch{\pi}{3}\right)+\text{i}\cdot{}\sin\left(\bruch{\pi}{3}\right) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}+\text{i}*\bruch{\wurzel{3}}{2}$$
[/mm]
[mm] $$z_{\red{2}} [/mm] \ = \ [mm] \cos\left(\bruch{\red{2}\cdot{}\pi}{3}\right)+\text{i}\cdot{}\sin\left(\bruch{\red{2}\cdot{}\pi}{3}\right) [/mm] \ = \ ...$$
usw.
Gruß vom
Roadrunner
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hey danke =).... aber gilt die formel denn nicht nur für die n-ten wurzeln und nicht die potenz?
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Um die Gleichung zu lösen ziehst du doch aber die 6. Wurzel aus der 1. Und um alle Lösungen zu erwischen, betrachtest du die 1 als kompl. Zahl. (z=1+0i)
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