Schar-E-Funktion Extrempunkte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:08 Sa 25.12.2004 | | Autor: | Disap |
Servus, also erst einmal: frohe Weihnachten.
Für mich verlaufen die nicht so schön, da ich mich wieder einmal mit Mathematik, naja, eher Rechner, rumschlage:
[mm] f_{k}(x) [/mm] = [mm] e^{x}+ke^{x}
[/mm]
Es soll bewiesen werden, dass nicht gleichzeitig Extremstellen UND Wendestellen vorhanden sein können.
Also erst einmal die beiden Ableitungen ermitteln:
[mm] f_{k}'(x) [/mm] = [mm] e^{x}+ke^{x} [/mm] = [mm] e^{x} [/mm] ( k+1 )
[mm] f_{k}''(x) [/mm] = [mm] e^{x}+ke^{x} [/mm] = [mm] e^{x} [/mm] ( k+1 )
Extremstellen f'(x) [mm] \not= [/mm] 0 (ohne Bestimmung HP/Tiefpunkt)
Doch was nun? Rechnet man lieber mit dem ausgeklammerten oder eben nicht?
[mm] f_{k}'(x) [/mm] = [mm] e^{x}+ke^{x}
[/mm]
0 = [mm] e^{x}+ke^{x} [/mm] || - [mm] e^{x}
[/mm]
[mm] -e^{x} [/mm] = [mm] ke^{x} [/mm] || ln
Und das dürfte auf Grund der negativen Eulerschen Zahl nicht gehen.
also nehme ich mal das ausgeklammerte,
0 [mm] =e^{x} [/mm] ( k+1 )
woraus folgt, dass man auch hier nicht den ln anwenden kann(?)
eine Teilbetrachtung wie k+1 = 0 ist auch überflüssig?
Wenn man nicht logarithmieren kann, wie kann man/muss man es dann machen?
Liebe Grüße Disap & schöne Festtage
Edit: Nach langem beschäftigen mit der Aufgabe bin ich zu dem Ergebnis gekommen, dass es
[mm] f_{k2}(x) [/mm] = [mm] e^{x}+ke^{-x} [/mm] heißen müsste.
[mm] f_{k2}'(x) [/mm] = [mm] e^{x}-ke^{x} [/mm] = [mm] e^{x} [/mm] ( k-1 )
[mm] f_{k2}''(x) [/mm] = [mm] e^{x}+ke^{x} [/mm] = [mm] e^{x} [/mm] ( k+1 )
Und was nun? Die Frage ist noch genau wie die oben. Was muss ich nun machen? (Lösungvorschlag wären auch die selben -> die leider wohl falsch sind)
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Doch, die Idee mit der Teilbetrachtung ist richtig. Da eine aus einem Produkt a * b bestehende Funktion dann 0 wird, wenn einer oder beide der Faktoren 0 ist, und in diesem Fall [mm] e^x [/mm] ja nicht 0 wird, ist die Lösung für f(x) = 0
-> (k + 1) = 0
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:29 Sa 25.12.2004 | | Autor: | Disap |
Welchen Intervall müsste K denn dann haben, damit es ein Extremum gibt?
Und wäre die Lösung nicht genau die selbe wie bei den Wendepunkten?
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Hm, von einem Intervall kann nicht die Rede sein, da es nur eine Lösung mit k = -1 gibt. In diesem Fall ist aber nicht nur f1(x) oder f2(x) gleich 0, sondern auch die Ursprungsfunktion, denn f(x) = f1(x) = f2(x). Eine Antwort auf die Frage würde ich formulieren: Diese Behauptung ist nicht haltbar, da im Beispiel f(k,x) mit k = -1 sowohl unendlich viele Extrem- wie auch Wendepunkte vorliegen, da für jedes x auch f1 und f2 = 0 sind.
Ah, moment! Das mit den unendlich vielen Wendepunkten stimmt ja garnicht, da f2(x) nur mögliche Extremstellen angibt für die f3(x) ungleich 0 sein muss. Ist aber nicht der Fall, da f3(x) mit k = -1 ebenso immer 0 ergibt! Also gibt es nur unendlich viele Extrempunkte (das ist ja die Eigenschaft einer Geraden mit der Steigung 0, wenn ich mich recht erinnere). Was ein Geistesblitz 
Also sorry für die teilweise falsche Antwort oben.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:44 Sa 25.12.2004 | | Autor: | Disap |
Also auf die Antwort, auf die ich hinaus wollte, ist: für welches k gibt es Extrempunkte, für welches k gibt es Wendepunkte?
Die Lösung bzw. Ergebnis auf meine Frage müsste lauten:
Extrema bei x= [mm] \bruch{ln (k)}{2}
[/mm]
Und Wendestellen bei x= [mm] \bruch{ln (-k)}{2}
[/mm]
Gilt aber nur für x>0 => wenn k > 0 Extrema und keine Wendestellen
k<0 Wendestellen aber keine Extrema
Mir ist halt der Lösungsweg wichtig, den kann ich gar nicht nachvollziehen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:01 Sa 25.12.2004 | | Autor: | Mustermax |
Ich probier's nochmal, bin gerade neu hier, und habe mich auch noch nicht mit dem Formeleditor bekannt gemacht  Also.
Die Funktion ist:
$ f(k,x) = [mm] e^x [/mm] + [mm] ke^x [/mm] $
Die Ableitungen:
$ f'(k,x) = [mm] e^x [/mm] + [mm] ke^x [/mm] $
$ f''(k,x) = [mm] e^x [/mm] + [mm] ke^x [/mm] $
$ f'''(k,x) = [mm] e^x [/mm] + [mm] ke^x [/mm] $
Es gilt also
$ f(k,x) = f'(k,x) = f''(k,x) = f'''(k,x) $
Man kann [mm] e^x [/mm] ausklammern bzw. faktorisieren:
$ f(k,x) = f'(k,x) = f''(k,x) = f'''(k,x) = [mm] e^x [/mm] * (k + 1) $
Es soll bewiesen werden, dass nicht gleichzeitig Extrem- und Wendestellen vorhanden sein können. Extremstellen liegen bei:
$ f'(k,x) = 0 $
$ [mm] \gdw e^x [/mm] * (k + 1) = 0 $
Damit $f'(k,x)$ null wird, muss einer der Beiden Faktoren [mm] e^x [/mm] oder $(k+1)$ null werden (oder beide gleichzeitig). Da [mm] e^x [/mm] nie null wird, betrachtet man den Faktor $(k+1)$. Also:
$ k + 1 = 0 $
$ [mm] \gdw [/mm] k = -1 $
Für $k = -1$ wird $f'(k,x)$ also 0, dies sind also die Extremstellen der Funktion.
Guckt man sich den Graph von $f(-1,x)$ an, hat man eine Gerade auf der x-Achse. Wenn ich mich richtig erinnere, bedeutet das, dass es unendlich viele Extrempunkte gibt. Ich hoffe, da spielt mir die Erinnerung keinen Streich, denn das hinreichende Kriterium von $f''(k,x) <> 0$ ist ja nicht erfüllt. Nun gut.
Das gleiche gilt bei den Wendestellen, da die Ableitungen gleich der Funktion sind. Für Wendestellen muss $f'''(k,x) [mm] \not= [/mm] 0$ sein, das ist aber nicht der Fall.
Ich bin bei meiner Antwort also nur davon ausgegangen, dass Geraden mit der Steigung 0 unendlich viele Extrempunkte besitzen, und hatte das oben nicht weiter erläutert.
Übrigens, wie kommst du auf $ [mm] \bruch{ln (k)}{2} [/mm] $ und $ [mm] \bruch{ln (-k)}{2} [/mm] $ für Extrem- bzw. Wendepunkte?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:30 Sa 25.12.2004 | | Autor: | Disap |
Naja, die Ergebnisse sollten sich theoretisch auf die Aufgabe beziehen.
Aber die ergeben in dem Punkt gar keinen Sinn
Die Aufgabe mit der Funktionsschar auch nicht (wie du schon richtig erkannt hast)
Die Ergebnisse beziehen sich auf die (ge)Edit(e) neue Funktionsgleichung in meiner geupdateten Frage. Hoffe ich mal.
Liebe Grüße Disap
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Ah, das ändert die Sache natürlich. Sorry, hab' das gerade erst gesehen
Ich bearbeite einfach mal meine Antwort von eben...
Die Funktion ist:
$ f(k,x) = [mm] e^x [/mm] + [mm] ke^{-x} [/mm] $
Die Ableitungen:
$ f'(k,x) = [mm] e^x [/mm] - [mm] ke^{-x} [/mm] $
$ f''(k,x) = [mm] e^x [/mm] + [mm] ke^{-x} [/mm] $
$ f'''(k,x) = [mm] e^x [/mm] - [mm] ke^{-x} [/mm] $
Für die Extremstellen muss gelten $f'(k,x)=0$ und für die Wendestellen $f''(k,x)=0$. Du hast dann ja schon richtig rausgefunden, dass bei den Extremstellen gilt:
$ [mm] \bruch{ln (k)}{2} [/mm] $
Und bei den Wendestellen:
$ [mm] \bruch{ln (-k)}{2} [/mm] $
(sag bescheid, wenn du auch eine "manuelle" herleitung haben willst)
$ln(x)$ ist aber nur definiert für $ x > 0 $. Somit kann k entweder größer oder kleiner gleich 0 sein, so dass es im 1. Fall Extremstellen und im 2. Fall Wendestellen gibt. Beides gleichzeitig geht aber nicht!
Wenn du dir ein paar Graphen, z.B. für k zwischen -2 und 2 anguckst, siehst du auch dass das zutrifft.
/edit: meine Güte, diese Fehler...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:49 Sa 25.12.2004 | | Autor: | Disap |
Danke für die allgemeine Beschreibung, aber mit der Praxis habe ich schwierigkeiten, also mit der Herleitung =>
wie kommt man auf dieses Ergebnis? (bei solchen Sachen brauche ich das mehr in Richtung "slow motion").
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Gerne
Für Extremstellen muss gelten: $f''(k,x) =0$
[mm] $\gdw e^x-ke^{-x} [/mm] = 0$
[mm] $\gdw e^x [/mm] = [mm] ke^{-x}$
[/mm]
Jetzt wendest du $ln$ auf die Gleichung an.
[mm] $\gdw ln(e^x) [/mm] = [mm] ln(ke^{-x})$
[/mm]
Der natürliche Logaritmus von der e-Funktion hebt sich mit selbiger auf, auf der linken Seite der Gleichung steht also nur noch x. Rechts kann man nach den Regeln für Logarithmen schreiben:
[mm] $\gdw [/mm] x = ln(k) + [mm] ln(e^{-x})$
[/mm]
Nach Andwendung einer weiteren Logarithmusregel kann man schreiben:
[mm] $\gdw [/mm] x = ln(k) - [mm] ln(e^x)$
[/mm]
Wiederum heben sich $ln$ und e-Funktion auf:
[mm] $\gdw [/mm] x = ln(k) - x$
[mm] $\gdw [/mm] 2x = ln(k)$
[mm] $\gdw [/mm] x = [mm] \bruch{ln(k)}{2}$
[/mm]
Bei den Wendestellen geht man genau so vor, es ist ja nur ein Vorzeichen anders. Man erhält:
$x = [mm] \bruch{ln(-k)}{2}$
[/mm]
Der natürliche Logarithmus ist nur für Zahlen größer als 0 definiert. Bei Extremstellen muss k also positiv sein, sonst wäre x ja beispielsweise mit k = -2:
$x = [mm] \bruch{ln(-2)}{2}$
[/mm]
Und somit nicht definiert, also gibt es in den Fällen x < 0 keine Extremstellen. Bei den Wendestellen steht aber vor dem k ein -1 als Faktor, es können also nur negative Zahlen für k eingesetzt werden. Und in dem Fall gibt es ja keine Extremstellen.
Du beweist die Behauptung also mit der Angabe der Extrem- und Wendestellen unter abhängigkeit von k, wobei k für Extremstellen positiv und für Wendestellen negativ sein muss. Und beides gleichzeitig geht ja nicht.
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