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| Aufgabe | Gegeben ist folgende Wahrheitstabelle:
![[]](/images/popup.gif) Tabelle
a. Geben Sie die Schaltfunktion von f in disjunktiver Normalform an.
b. Vereinfachen Sie die Funktion unter Verwendung eines Karnaugh-Diagramms.
c. Nehmen Sie jetzt an, dass die Wahrheitstabelle wie oben gegeben ist, jedoch ohne die letzte Zeile. Das heißt, die neue Funktion f’ ist auf dem Eingabe-4-Tupel (a=1, b=1, c=1, d=1) undefiniert. Wie wirkt sich das auf Ihre Möglichkeiten aus, die neue Funktion f’ zu vereinfachen?
Verdeutlichen Sie Ihre Antwort an einem neuen Karnaugh-Diagramm, und geben Sie eine möglichst einfache Darstellung von f’ an.
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Hallo,
es wäre super, wenn jemand die a. und b. korrigieren könnte und vielleicht einen Tipp zur Teilaufgabe c. hätte.
a. $f = [mm] \overline{a}\overline{b}c\overline{d} [/mm] + [mm] \overline{a}\overline{b}cd [/mm] + [mm] \overline{a}bc\overline{d} [/mm] + [mm] \overline{a}bcd [/mm] + [mm] a\overline{b}c\overline{d} [/mm] + [mm] a\overline{b}cd [/mm] + [mm] abc\overline{d}$
[/mm]
b. Tabelle
$ y = [mm] \overline{a} [/mm] + c$
c. ???
Bei der c. verstehe ich nicht, warum das Fehlen der letzten Zeile irgendeinen Einfluss auf das Vereinfachen der neuen Funktion f' haben sollte, schließlich nimmt die Funktion an dieser Stelle nicht den Wert 1 an?!
Vielen Dank.
Gruß
el_grecco
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Hallo el_grecco,
> Gegeben ist folgende Wahrheitstabelle:
>
> Tabelle
>
> a. Geben Sie die Schaltfunktion von f in disjunktiver
> Normalform an.
>
> b. Vereinfachen Sie die Funktion unter Verwendung eines
> Karnaugh-Diagramms.
>
> c. Nehmen Sie jetzt an, dass die Wahrheitstabelle wie oben
> gegeben ist, jedoch ohne die letzte Zeile. Das heißt, die
> neue Funktion f’ ist auf dem Eingabe-4-Tupel (a=1, b=1,
> c=1, d=1) undefiniert. Wie wirkt sich das auf Ihre
> Möglichkeiten aus, die neue Funktion f’ zu
> vereinfachen?
> Verdeutlichen Sie Ihre Antwort an einem neuen
> Karnaugh-Diagramm, und geben Sie eine möglichst einfache
> Darstellung von f’ an.
>
> Hallo,
>
> es wäre super, wenn jemand die a. und b. korrigieren
> könnte und vielleicht einen Tipp zur Teilaufgabe c.
> hätte.
>
> a. [mm]f = \overline{a}\overline{b}c\overline{d} + \overline{a}\overline{b}cd + \overline{a}bc\overline{d} + \overline{a}bcd + a\overline{b}c\overline{d} + a\overline{b}cd + abc\overline{d}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> b. Tabelle
>
> [mm]y = \overline{a} + c[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Wie das? Du hast jetzt raus, das y=1 wenn a=0 oder c=1 schau dir deine Wahrheitstabelle an, und du siehst dass das nicht stimmen kann...
du kannst immer jeweils 2 1en zu Blöcken zusammenfassen....
schreib dir am besten die Nullen mit rein, dann siehst du was du zusammenfassen kannst....
>
> c. ???
>
> Bei der c. verstehe ich nicht, warum das Fehlen der letzten
> Zeile irgendeinen Einfluss auf das Vereinfachen der neuen
> Funktion f' haben sollte, schließlich nimmt die Funktion
> an dieser Stelle nicht den Wert 1 an?!
na an Stelle 1111 steht dann statt einer 0 ein - (also möglich wäre auch 1) nun kannst du die ganze Zeile zu einem 4er-Block zusammenfassen...das vereinfacht erheblich
>
>
> Vielen Dank.
>
> Gruß
> el_grecco
>
Gruß Christian
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Danke, Christian.
Mir fehlt leider noch der Blick für's Detail (ist ein neues Thema)...
Ich habe die 1er in vier Blöcke zusammengefasst:
Karnaugh
$y = [mm] \overline{a}bc [/mm] + acd$
Ich hoffe, dass das jetzt richtig ist, sonst habe ich es wirklich nicht verstanden...
Wir haben einige Beispiele bekommen und eines davon sah so aus:
[mm] $\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\bruch{x_{1}x_{2}}{x_{3}} & 00 & 10 & 11 & 01\\
\hline
0 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 0 & 1 & 1 & 0\\
\end{array}$
[/mm]
$y = [mm] \overline{x_{3}} [/mm] + [mm] x_{1}$
[/mm]
Mein Problem ist, dass ich nicht genau weiß wie man vorgeht; so sieht meine Vorgehensweise aus:
- [mm] $x_{1}$ [/mm] Hat Einsen in der ersten, zweiten, dritten und letzten Spalte. In diesen Spalten hat es einmal eine 0 (ersten), eine 1 (zweiten und dritten) und eine 0 (letzten).
Jetzt weiß ich nicht, ob man [mm] $x_{1}$ [/mm] bei der Funktionsbildung außer Acht lassen muss (weil nicht alle [mm] $x_{1}$ [/mm] in allen Spalten entweder immer 0 oder immer 1 sind) oder ob ich [mm] $x_{1}$ [/mm] berücksichtigen muss, weil in Spalte zwei und drei zweimal hintereinander die gleiche Zahl steht, hier eine 1?
Zur c.
> na an Stelle 1111 steht dann statt einer 0 ein - (also
> möglich wäre auch 1) nun kannst du die ganze Zeile zu
> einem 4er-Block zusammenfassen...das vereinfacht erheblich
> >
Achso. Ich hatte mir das so vorgestellt, dass die Zeile komplett wegfällt... 
Die neue Funktion wäre doch dann?
$f = [mm] \overline{a}\overline{b}c\overline{d} [/mm] + [mm] \overline{a}\overline{b}cd [/mm] + [mm] \overline{a}bc\overline{d} [/mm] + [mm] \overline{a}bcd [/mm] + [mm] a\overline{b}c\overline{d} [/mm] + [mm] a\overline{b}cd [/mm] + [mm] abc\overline{d} [/mm] + [mm] \overline{a}\overline{b}\overline{c}\overline{d}$
[/mm]
Gruß
el_grecco
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> Danke, Christian.
>
> Mir fehlt leider noch der Blick für's Detail (ist ein
> neues Thema)...
>
> Ich habe die 1er in vier Blöcke zusammengefasst:
>
> Karnaugh
das sieht gut aus
>
> [mm]y = \overline{a}bc + acd[/mm]
hmm. das nicht....es sind ja vier Blöcke, warum also nicht vier Ausdrücke? Erklärung am Beispiel unten...
>
> Ich hoffe, dass das jetzt richtig ist, sonst habe ich es
> wirklich nicht verstanden...
> Wir haben einige Beispiele bekommen und eines davon sah so
> aus:
>
> [mm]$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\bruch{x_{1}x_{2}}{x_{3}} & 00 & 10 & 11 & 01\\
\hline
0 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 0 & 1 & 1 & 0\\
\end{array}$[/mm]
>
> [mm]y = \overline{x_{3}} + x_{1}[/mm]
>
> Mein Problem ist, dass ich nicht genau weiß wie man
> vorgeht; so sieht meine Vorgehensweise aus:
> - [mm]x_{1}[/mm] Hat Einsen in der ersten, zweiten, dritten und
> letzten Spalte. In diesen Spalten hat es einmal eine 0
> (ersten), eine 1 (zweiten und dritten) und eine 0
> (letzten).
>
> Jetzt weiß ich nicht, ob man [mm]x_{1}[/mm] bei der
> Funktionsbildung außer Acht lassen muss (weil nicht alle
> [mm]x_{1}[/mm] in allen Spalten entweder immer 0 oder immer 1 sind)
> oder ob ich [mm]x_{1}[/mm] berücksichtigen muss, weil in Spalte
> zwei und drei zweimal hintereinander die gleiche Zahl
> steht, hier eine 1?
die Zusammenfassung zu Blöcken soll immer so groß wie mglich sein, bei deinem Beispiel hast du also 2 4er-Blöcke. Alle Variablen, die sich über diesen Block ändern fallen weg! Den Rest schreibst du auf. Also in der ersten Zeile ändern sich ja [mm] x_1:0\rightarrow1\rightarrow0 [/mm] und [mm] x_2:0\rightarrow1
[/mm]
die fallen also beide raus aus dem Term den du aufschreiben musst. Übrig bleibt Variable [mm] x_3, [/mm] da die sich ja nicht ändert. Da [mm] x_3 [/mm] = 0 musst du [mm] \overline{x_3} [/mm] aufschreiben.
Der zweite 4er-Block ist dann der in der Mitte. Da ändert sich [mm] x_2:0\rightarrow1 [/mm] und [mm] x_3:0\rightarrow1 [/mm] übrig bleibt also [mm] x_1 [/mm] und da das =1 ist schreibst du auch [mm] x_1 [/mm] auf. Insgesamt hast du dann y = [mm] \overline{x_3} [/mm] + [mm] x_1
[/mm]
Prinzip klargeworden?
>
>
> Zur c.
>
> > na an Stelle 1111 steht dann statt einer 0 ein - (also
> > möglich wäre auch 1) nun kannst du die ganze Zeile zu
> > einem 4er-Block zusammenfassen...das vereinfacht erheblich
> > >
>
> Achso. Ich hatte mir das so vorgestellt, dass die Zeile
> komplett wegfällt...
>
> Die neue Funktion wäre doch dann?
> [mm]f = \overline{a}\overline{b}c\overline{d} + \overline{a}\overline{b}cd + \overline{a}bc\overline{d} + \overline{a}bcd + a\overline{b}c\overline{d} + a\overline{b}cd + abc\overline{d} + \overline{a}\overline{b}\overline{c}\overline{d}[/mm]
Nicht ganz. Die neue Funktion f' ist auch nur an 7 Stellen =1 und nicht an 8. Für die Stelle 1111 (die würde sich ansonsten aber auch mit abcd darstellen statt [mm] \overline{a}\overline{b}\overline{c}\overline{d} [/mm]  )
steht ein Strich (das ist keine 1 !!). Diesen Strich kannst du im Karnaugh-Plan aber wie eine 1 ansehen (wenn du eine disjunktive Form untersuchst - für konjunktiv als 0) - als nur gedachte 1. Damit kannst du die dritte Zeile zu einem Block zusammenfassen, der dann in welchem Term resultiert?
>
>
> Gruß
> el_grecco
>
Gruß Christian
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Ist die Anzahl der Terme immer gleich der Anzahl der Blöcke (wenn ja, wusste ich das nicht)?
Der nächste Versuch:
$y = [mm] \overline{a}\overline{b} [/mm] + [mm] \overline{a}bc [/mm] + abc + acd$
(Falls das richtig ist: kann man das noch weiter vereinfachen?)
> Nicht ganz. Die neue Funktion f' ist auch nur an 7 Stellen
> =1 und nicht an 8. Für die Stelle 1111 (die würde sich
> ansonsten aber auch mit abcd darstellen statt
> [mm]\overline{a}\overline{b}\overline{c}\overline{d}[/mm] )
> steht ein Strich (das ist keine 1 !!). Diesen Strich
> kannst du im Karnaugh-Plan aber wie eine 1 ansehen (wenn du
> eine disjunktive Form untersuchst - für konjunktiv als 0)
> - als nur gedachte 1. Damit kannst du die dritte Zeile zu
> einem Block zusammenfassen, der dann in welchem Term
> resultiert?
> >
O.K. Das bedeutet, dass $f' = f$ und es ändert sich nur das Karnaugh-Diagramm?
Diagramm
Gruß
el_grecco
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> Ist die Anzahl der Terme immer gleich der Anzahl der
> Blöcke (wenn ja, wusste ich das nicht)?
Ja, du stellst ja für jeden Block einen Boole'schen Ausdruck auf.
>
> Der nächste Versuch:
> [mm]y = \overline{a}\overline{b} + \overline{a}bc + abc + acd[/mm] leider
Erstmal als Faustregel: für eine einzelne 1 muss jede Variable im Term auftauchen (siehe Ausgangsfunktion f)
In einem 2er-Block fällt eine Variable weg, alle anderen bleiben drin. In einem 4er-Block fallen 2 Variablen weg, der Rest bleibt usw.
Du hast hier immer 2er-Blöcke und 4 Variablen, d.h. es müssen in jedem Term 3 Variablen drinstehen!
Für den linken Block: a und b ändern sich nicht, und sind beide =0 also [mm] \overline{a}\overline{b}; [/mm] c ändert sich von 0 auf 1, fällt weg.
d ändert sich nicht, bleibt erhalten als d
insgesamt für diesen Block: [mm] \overline{a}\overline{b}d
[/mm]
2.Block: a = 0 und b = 1 und c = 1 ändern sich nicht, bleiben erhalten als [mm] \overline{a}bc [/mm] und d fällt weg, da es sich ändert
unterer Block: a = 1 und c = 1 und d = 0 ändern sich nicht, bleiben erhalten als [mm] ac\overline{d} [/mm] und b fällt weg, da es sich ändert
rechter Block: was ändert sich? Was ändert sich nicht?
>
> (Falls das richtig ist: kann man das noch weiter
> vereinfachen?)
Nein, wenn du die Blöcke optimal wählst, geht das nicht mehr zu vereinfachen. In diesem Fall geht es nicht besser, nur anders.
Richtlinie: Blöcke so gross wie möglich, jede 1 mindestens 1mal erfassen.
>
>
> > Nicht ganz. Die neue Funktion f' ist auch nur an 7 Stellen
> > =1 und nicht an 8. Für die Stelle 1111 (die würde sich
> > ansonsten aber auch mit abcd darstellen statt
> > [mm]\overline{a}\overline{b}\overline{c}\overline{d}[/mm] )
> > steht ein Strich (das ist keine 1 !!). Diesen Strich
> > kannst du im Karnaugh-Plan aber wie eine 1 ansehen (wenn du
> > eine disjunktive Form untersuchst - für konjunktiv als 0)
> > - als nur gedachte 1. Damit kannst du die dritte Zeile zu
> > einem Block zusammenfassen, der dann in welchem Term
> > resultiert?
> > >
>
> O.K. Das bedeutet, dass [mm]f' = f[/mm] und es ändert sich nur das
> Karnaugh-Diagramm?
Nein. f' hat bei (abcd) = (1111) ein "-" stehen! f' ist an dieser Stelle nicht definiert, und kann entweder 1 oder 0 sein.
Du kannst das in deinem Karnaugh-Plan zum Zwecke der Vereinfachung als 1 annehmen, nur annehmen.
>
> Diagramm und
eigentlich muss da ein "-" stehen! Das "-" kann aber für das Zusammenfassen von Blöcken als eine 1 oder eine 0 betrachtet werden (je nachdem ob KNF oder DNF) und auch nur zu diesem Zweck, und auch nur gedanklich!
Durch die Zusammenfasung in einen 4er-Block fallen 2 Variablen weg, und du hast: cd
Diese Form der Beschreibung erzeugt dir an der Stelle (1111) für y eine 1 am Ausgang. Es ist also nicht dieselbe Funktion wie f'.
Wenn uns - wie in diesem Fall - die Stelle (1111) nicht interessiert, also ein "-" hat, kann man das so machen.
>
>
> Gruß
> el_grecco
>
Gruß Christian
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> Für den linken Block: a und b ändern sich nicht, und
> sind beide =0 also [mm]\overline{a}\overline{b};[/mm] c ändert
> sich von 0 auf 1, fällt weg.
> d ändert sich nicht, bleibt erhalten als d
> insgesamt für diesen Block: [mm]\overline{a}\overline{b}d[/mm]
Aber d ändert sich doch von 1 zu 0 und müsste doch deshalb wegfallen (dann wären aber keine drei Variablen mehr vorhanden...)?
> unterer Block: a = 1 und c = 1 und d = 0 ändern sich
> nicht, bleiben erhalten als [mm]ac\overline{d}[/mm] und b fällt
> weg, da es sich ändert
Müsste es nicht d heißen (da cd = 11)?
> rechter Block: was ändert sich? Was ändert sich nicht?
Das müsste dann abc heißen...?
(Nochmals vielen Dank Christian für deinen großen Einsatz. )
Gruß
el_grecco
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> > Für den linken Block: a und b ändern sich nicht, und
> > sind beide =0 also [mm]\overline{a}\overline{b};[/mm] c ändert
> > sich von 0 auf 1, fällt weg.
> > d ändert sich nicht, bleibt erhalten als d
> > insgesamt für diesen Block: [mm]\overline{a}\overline{b}d[/mm]
>
> Aber d ändert sich doch von 1 zu 0 und müsste doch
> deshalb wegfallen (dann wären aber keine drei Variablen
> mehr vorhanden...)?
d ändert sich doch gar nicht!?! Du bist in der 1.Spalte: a und b sind =0. Die obere 1 hat (cd) = (01) und die untere 1 hat (cd) = (11) offensichtlich ist c einmal 0 und einmal 1 und d beides mal 1...
>
> > unterer Block: a = 1 und c = 1 und d = 0 ändern sich
> > nicht, bleiben erhalten als [mm]ac\overline{d}[/mm] und b fällt
> > weg, da es sich ändert
>
> Müsste es nicht d heißen (da cd = 11)?
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") 4.Zeile: c = 1 und d = 0 die sind fest in der Zeile. dann einmal (ab) = (11) und einmal (ab) = (10) a ändert sich nicht, und b ändert sich....
nun musst du natürlich alle Variablen die 1 sind ohne overline schreiben und alle die 0 sind mit overline
also [mm] ac\overline{d}
[/mm]
>
> > rechter Block: was ändert sich? Was ändert sich nicht?
>
> Das müsste dann abc heißen...?
hmm. a = 1 [mm] \rightarrow [/mm] a; b = 0 [mm] \rightarrow \overline{b} [/mm] und c = 1 [mm] \rightarrow [/mm] c
insgesamt für diesen Block: [mm] a\overline{b}c [/mm]
>
> (Nochmals vielen Dank Christian für deinen großen
> Einsatz. )
kein Problem
>
> Gruß
> el_grecco
Gruß Christian
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Genau ![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]")
1. es ist korrekt, das da ein "-" steht!
2. korekkt zusammengefasst, und
3. korrekt als c abgebildet - du siehst bei einem 8er-Block fallen 3 Variablen weg.
Ohne den eingebauten Fehler mit der falschen 1 ist die ganze Aufgabe wesentlich einfacher, aber dafür hast du es jetzt besser verstanden oder?
Gruß Christian
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:36 Mo 31.05.2010 | | Autor: | el_grecco |
Tausend Dank für die sehr große Unterstützung, Christian. ![[respekt2]](/images/smileys/respekt2.gif "[respekt2]")
Um ehrlich zu sein, hat mir der Fehler am Anfang wirklich dazu geholfen, das Thema besser zu verstehen.
Gruß
el_grecco
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![[]](http://img10.imageshack.us/img10/2698/schalt.jpg){kind=small}
Tabelle![[]](http://img535.imageshack.us/img535/6733/tabellecw.jpg){kind=small}
Tabelle
![[]](http://img36.imageshack.us/img36/9543/tabellehs.jpg){kind=small}
Karnaugh![[]](http://img198.imageshack.us/img198/3995/strichm.jpg){kind=small}
Diagramm![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]"){kind=small}
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]"){kind=small}
![[]](http://img72.imageshack.us/img72/1450/karnaughv2.jpg){kind=small}
Karnaugh (Version 2.0)![[]](http://img441.imageshack.us/img441/1971/bloeckev2.jpg){kind=small}
Blöcke (Version 2.0)![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
![[]](http://img99.imageshack.us/img99/2312/notdefinedv20.jpg){kind=small}
Diagramm