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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass gilt:
Wenn lim [mm] $(a_{n+1} [/mm] - [mm] a_{n}) [/mm] = b$, dann ist lim [mm] $(\frac{a_n}{n}) [/mm] = b$ |
Hallo;
ich habe keine Idee, wie ich das angehen könnte. Vielleicht hat jemand einen netten Anreiz, damit ich loslegen kann 
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Hallo,
> Zeigen Sie, dass gilt:
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> Wenn lim [mm](a_{n+1} - a_{n}) = b[/mm], dann ist lim
> [mm](\frac{a_n}{n}) = b[/mm]
> Hallo;
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> ich habe keine Idee, wie ich das angehen könnte.
> Vielleicht hat jemand einen netten Anreiz, damit ich
> loslegen kann
Versuche es mal mit dem Cauchy-Kriterium.
Gruß, Diophant
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:36 Sa 18.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie, dass gilt:
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> Wenn lim [mm](a_{n+1} - a_{n}) = b[/mm], dann ist lim
> [mm](\frac{a_n}{n}) = b[/mm]
> Hallo;
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> ich habe keine Idee, wie ich das angehen könnte.
> Vielleicht hat jemand einen netten Anreiz, damit ich
> loslegen kann
>
Im Gegensatz zu Diophant bin ich der Meinung, dass das Cauchykriterium hier wenig hilft. Ich kann mich auch irren.
Meine Idee:
Setze [mm] b_n:=a_{n+1} [/mm] - [mm] a_{n} [/mm] und lasse den Cauchyschen Grenzwertsatz (http://de.wikipedia.org/wiki/Cauchyscher_Grenzwertsatz) auf [mm] (b_n) [/mm] los.
FRED
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Hallo,
ich versuche es mal;
Dann müsste die Folge [mm] $(c_n)$ [/mm] (laut dem Wiki-Artikel : die Folge der Cesaro-Mittel der Folge [mm] $(b_n)$ [/mm] so lauten:
[mm] $(c_n) [/mm] = [mm] \frac{1}{n} [/mm] * [ ( [mm] a_2 [/mm] - [mm] a_1 [/mm] ) + [mm] (a_3-a_2)+ [/mm] ... + [mm] (a_n-a_{n-1}) [/mm] + [mm] (a_{n+1} [/mm] - [mm] a_n)] [/mm] = [mm] \frac{1}{n} [/mm] * [ [mm] -a_1 [/mm] - [mm] a_{n-1} [/mm] + [mm] a_{n+1} [/mm] ] $
Und [mm] $(c_n)$ [/mm] konvergiert dann auch gegen den Grenzwert von [mm] $(b_n)$.
[/mm]
Und zu zeigen war, dass [mm] $\frac{a_n}{n}$ [/mm] auch gegen den Grenzwert von [mm] $(b_n)$ [/mm] konvergiert.
Irgendwie und irgendwo habe ich da wohl Fehler gemacht..
-> Eine Frage zu diesem Cauchy-Grenzwertsatz:
Wenn ich die Folge habe [mm] $(x_n) [/mm] = [mm] \frac{1}{n} [/mm] * (1 + 1/2 + ... + 1/n)$, und der Ausdruck $(1 + 1/2 + ... + 1/n)$ konvergieren würde, dann würde auch die Folge [mm] $(x_n)$ [/mm] konvergieren, richtig? In dem Fall konvergiert doch aber [mm] $(x_n)$, [/mm] obwohl die Harmonische Reihe divergent ist... Wo denke ich hier denn falsch?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:44 So 19.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> ich versuche es mal;
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> Dann müsste die Folge [mm](c_n)[/mm] (laut dem Wiki-Artikel : die
> Folge der Cesaro-Mittel der Folge [mm](b_n)[/mm] so lauten:
>
> [mm](c_n) = \frac{1}{n} * [ ( a_2 - a_1 ) + (a_3-a_2)+ ... + (a_n-a_{n-1}) + (a_{n+1} - a_n)] = \frac{1}{n} * [ -a_1 - a_{n-1} + a_{n+1} ][/mm]
Das stimmt nicht !
Es ist [mm] c_n [/mm] = [mm] \frac{1}{n}(a_{n+1}-a_1)
[/mm]
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> Und [mm](c_n)[/mm] konvergiert dann auch gegen den Grenzwert von
> [mm](b_n)[/mm].
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> Und zu zeigen war, dass [mm]\frac{a_n}{n}[/mm] auch gegen den
> Grenzwert von [mm](b_n)[/mm] konvergiert.
>
> Irgendwie und irgendwo habe ich da wohl Fehler gemacht..
>
> -> Eine Frage zu diesem Cauchy-Grenzwertsatz:
>
> Wenn ich die Folge habe [mm](x_n) = \frac{1}{n} * (1 + 1/2 + ... + 1/n)[/mm],
> und der Ausdruck [mm](1 + 1/2 + ... + 1/n)[/mm] konvergieren würde,
> dann würde auch die Folge [mm](x_n)[/mm] konvergieren, richtig? In
> dem Fall konvergiert doch aber [mm](x_n)[/mm], obwohl die
> Harmonische Reihe divergent ist... Wo denke ich hier denn
> falsch?
Du denkst doch gar nicht falsch. Der Cauchysche Grenzwertsatz lässt sich eben nicht umkehren.
FRED
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Hallo,
Okay!
Nun weiß ich also
1.) [mm] $(b_n) [/mm] := [mm] (a_{n+1} [/mm] - [mm] a_n)$ [/mm] konvergiert gegen c.
2.) Mit dem Cauchyschen Grenzwertsatz: [mm] $(c_n) [/mm] := [mm] \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} b_i [/mm] $ konvergiert gegen c.
3.) Von [mm] $(c_n)$ [/mm] weiß ich nun: [mm] $(c_n) [/mm] = [mm] \frac{1}{n} (a_{n+1}-{a_1})$ [/mm] (Danke für die Korrektur, blöder Fehler von mir..)
Nun musste ich ja zeigen, dass [mm] $\frac{a_n}{n}$ [/mm] gegen c konvergiert. Wie komme ich zu dem Schritt?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:37 Mo 20.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> Okay!
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> Nun weiß ich also
>
> 1.) [mm](b_n) := (a_{n+1} - a_n)[/mm] konvergiert gegen c.
> 2.) Mit dem Cauchyschen Grenzwertsatz: [mm](c_n) := \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} b_i[/mm]
> konvergiert gegen c.
> 3.) Von [mm](c_n)[/mm] weiß ich nun: [mm](c_n) = \frac{1}{n} (a_{n+1}-{a_1})[/mm]
> (Danke für die Korrektur, blöder Fehler von mir..)
>
> Nun musste ich ja zeigen, dass [mm]\frac{a_n}{n}[/mm] gegen c
> konvergiert. Wie komme ich zu dem Schritt?
>
[mm] \bruch{a_{n+1}}{n}=c_n+\bruch{a_{1}}{n} \to [/mm] ????
[mm] \bruch{a_{n+1}}{n+1}=\bruch{a_{n+1}}{n}*\bruch{n}{n+1} \to [/mm] ????
FRED
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Hallo FRED! Danke, und:
> [mm]\bruch{a_{n+1}}{n}=c_n+\bruch{a_{1}}{n} \to[/mm] ????
[mm] $c_n+\bruch{a_{1}}{n} \to [/mm] c $
> [mm]\bruch{a_{n+1}}{n+1}=\bruch{a_{n+1}}{n}*\bruch{n}{n+1} \to[/mm] ????
$ [mm] \bruch{a_{n+1}}{n}*\bruch{n}{n+1} [/mm] = (c + [mm] \frac{a_1}{n}) [/mm] * [mm] \frac{1}{1+1/n} \to [/mm] c $
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:51 Di 21.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo FRED! Danke, und:
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> > [mm]\bruch{a_{n+1}}{n}=c_n+\bruch{a_{1}}{n} \to[/mm] ????
>
> [mm]c_n+\bruch{a_{1}}{n} \to c[/mm]
>
> > [mm]\bruch{a_{n+1}}{n+1}=\bruch{a_{n+1}}{n}*\bruch{n}{n+1} \to[/mm]
> ????
>
> [mm]\bruch{a_{n+1}}{n}*\bruch{n}{n+1} = (c + \frac{a_1}{n}) * \frac{1}{1+1/n} \to c[/mm]
>
>
ja
FRED
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