Satz von Wilson < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] p\equiv [/mm] 3 mod 4 Primzahl. Beweise mit dem Satz von Wilson:
[mm] ((\frac{p-1}{2})!)\equiv1\,\,\,\mbox{mod }p [/mm] |
Hallo,
der Satz von Wilson sagt: [mm] (p-1)!\equiv [/mm] -1 mod p.
Dann weiß ich, dass [mm] ((p-1)!)^2\equiv [/mm] 1 mod p ist, aber wieso kann ich aus der Fakultät die zwei rauskürzen und das gilt immer noch?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:46 Mi 03.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> Sei [mm]p\equiv[/mm] 3 mod 4 Primzahl. Beweise mit dem Satz von
> Wilson:
> [mm]((\frac{p-1}{2})!)\equiv1\,\,\,\mbox{mod }p[/mm]
> Hallo,
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> der Satz von Wilson sagt: [mm](p-1)!\equiv[/mm] -1 mod p.
> Dann weiß ich, dass [mm]((p-1)!)^2\equiv[/mm] 1 mod p ist, aber
> wieso kann ich aus der Fakultät die zwei rauskürzen und
> das gilt immer noch?
Also ich lese das so: Erst p-1 durch 2 teilen, dann Fakultät. Also zB bei der 19 wäre das [m]9! \mbox{ mod } 19[/m]. Das sind die Hälfte aller Zahlen, wobei mit x eben [m]-x[/m] nicht drin ist. Wenn du also das Produkt quadriest erhälst du mit Wilson 1 - jetzt musst du dir überlegen, dass die Zahl vorher schon 1 war, und nicht -1. Dazu muss man benutzen, dass [m](p-1)/2[/m] ungerade ist - nach Vorraussetzung! Hast du jetzt Ideen?
SEcki
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:08 Do 04.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> Sei [mm]p\equiv[/mm] 3 mod 4 Primzahl. Beweise mit dem Satz von
> Wilson:
> [mm]((\frac{p-1}{2})!)\equiv1\,\,\,\mbox{mod }p[/mm]
> Hallo,
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> der Satz von Wilson sagt: [mm](p-1)!\equiv[/mm] -1 mod p.
> Dann weiß ich, dass [mm]((p-1)!)^2\equiv[/mm] 1 mod p ist, aber
> wieso kann ich aus der Fakultät die zwei rauskürzen und
> das gilt immer noch?
Also mal ausfürhlicher: sei [m]X=\{k|1\le k \le (p-1)/2\}[/m]. Dann ist mit [m]x\in X[/m] allerdings [m]-x\notin X[/m]. Nun definiere ich [m]y:=\prod_{x\in X} x[/m], damit ist [m]\prod_{x\in X} (-x)=(-1)^{(p-1)/2}*y=-y[/m]. Insgesamt also (nach Wilson): [m]y*(-y)=-1[/m], also [m]y^2=1[/m], also [m]y=\pm 1[/m]. Du musst noch [m]y=1[/m] folgern, seh ich gerade nicht.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:32 Do 04.02.2010 | | Autor: | abakus |
Hallo,
offensichtlich gilt
[mm] (p-1)\equiv [/mm] -1 mpd p
[mm] (p-2)\equiv [/mm] -2 mpd p
[mm] (p-3)\equiv [/mm] -3 mpd p
usw.
Damit lassen die Faktoren in der "vorderen Häflte" von (p-1)! (also 1 bis (p-1)/2) jeweils die entgegengesetzten Reste wie die Faktoren in der hinteren Hälfte (von p-1 an abwärts bis zur Mitte).
Hilft das beim Verständnis?
Gruß Abakus
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